DS3 2020 2021 Correction
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Page 1 : Département de MathématiquesPréING2 - Intégration et probabilités31 Mai 20211h30Correction DS3 - Intégration et probabilitésConsignes• Appareils électroniques et documents interdits• Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.• Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 :On note E l’ellipse d’équation x2a2 + y2b2 = 1, avec a, b R2, a 0, b 0, et D lapartie de R2 définie parx2a2 + y2b2 1 0.1. Calculer l’intégrale doubleI =ZZDx2 + y2 dx dy.2. Calculer l’intégrale curviligneJ =ZEy3 dx x3 dy.Indication : on peut utiliser les deux formules de linéarisation suivantes :cos4t = 18 cos4t + 4 cos2t + 3etsin4t = 18 cos4t 4 cos2t + 3 .3. Quelle est la relation qui existe entre I et J ? Est-elle conforme à la formule de Green-Riemann ?Solution 11. Soit le changement de variables x = aρ cosθy = bρ sinθLa matrice jacobienne du changement de variable esta cosθaρ sinθb sinθbρ cosθLe déterminant est alors J = abρ. Ainsi, après changement de variable,I=Z 1ρ=0Z 2πθ=0a2ρ2 cos2θ + b2ρ2 sin2θabρ dρ dθ=abZ 10ρ3 dρ×Z 2π0a2 cos2θ + b2 sin2θ dθ=abρ4410×a2sin2a4+ 12+ b212 sin2a42π0=ab4 × a2 + b2π.1
Page 2 : 2. Par le paramétrage direct xt = a costt 0, 2πyt = b sintOn obtientJ =Z 2π0ab3 sin4t a3b cos4t dt.En utilisant la linéarisation, on obientJ=ab8Z 2π0b2 + a2 cos4t + 4a2 b2 cos2t + 3a2 + b2 dt=ab8 a2 + b2sin4t4+ 3t2π0ab2 a2 b2sin2t22π0=3aba2 + b2π4.3. Nous remarquons que J = 3I ce qui est conforme à la formule de Green-Riemann. En effet, enposant y3 dxx3 dy = Px, y dx+Qx, y dy, nous avons bien Qx x, yPy x, y = 3x2+y2.Exercice 2 :Soit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée de la portion dela droite y = x et de la portion de la parabole d’équation y = x2, comprises entre les pointsd’intersection.1. CalculerI =ZΓy + xy dx.2. En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale.Solution 21. Les deux points d’intersection sont en 0 ;0 et 1 ;1. La première portion sur la parabole estparamétrée par x = t et y = t2 pour t variant de 0 à 1. La seconde portion sur la droite estparamétrée par x = y = t pour t variant de 1 à 0 attention !. Nous obtenons ainsi :I =Z 10t2 + t3 dt Z 10t + t2 dt = 14.2. Posons Px, y = y + xy et Qx, y = 0. Ainsi, Qx x, y Py x, y = 1 + x etZZD1 + x dx dy,avec D = x, y R2 0 x 1, x2 y x. D’où,I=Z 10Z xx2 1 + x dydx=Z 101 + xx x2 dx=14.2
Page 3 : Exercice 3 :On jette trois fois un dé à 6 faces et on note a, b et c les résultats successivementobtenus. On note PX = aX2 + bX + c. Déterminer la probabilité pour que le polynôme P ait :1. deux racines réelles distinctes,2. une racine réelle double.Solution 3 Il y a 63 possibilités.1. Les racines sont réelles et distinctes si et seulement si 0, c’est-à-dire b2 4ac.• b = 1 : Impossible pour a et c.• b = 2 : b2 = 4, impossible pour a et c.• b = 3 : b2 = 9, a, c = 1, 1, 1, 2, 2, 1.• b = 4 : b2 = 16, a, c = 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3; 1.• b = 5 : b2 = 25, a, c=1,1,1,2,1,3,1 ;4,1 ;5,1 ;6,2,1,2 ;2,2 ;3,3 ;1,3 ;2,4 ;1,5 ;1,6 ;1.• b = 6 : b2 = 36, a, c=1,1,1,2,1,3,1 ;4,1 ;5,1 ;6,2,1,2 ;2,2 ;3,2 ;4,3 ;1,3 ;2,4 ;1, 4 ;2, 5 ;1,6 ;1.Au total, nous avons 38 cas possibles :P =19 × 262 × 3 × 2 =1922 × 33.2. Il y a une racine double si et seulement si = 0 = b24ac, c’est-à-dire b2 = 4ac, soit b = 2ac.Ainsi, seuls les b pairs peuvent convenir.• b = 2 : a, c = 1, 1.• b = 4 : donc ac = 4, donc a, c = 1, 4, 4, 1, 2, 2.• b = 6 : donc ac = 9, donc a, c = 3, 3.Au total, nous avons 5 cas possibles :P =533 × 23.Exercice 4 :Des études statistiques ont permis d’estimer que s’il fait beau un jour, la probabilitéqu’il fasse beau le lendemain est 0,7. En revanche, s’il ne fait pas beau un jour, la probabilité qu’ilfasse beau le lendemain n’est que 0,4.1. Un mercredi, il fait beau. Quelle est la probabilité qu’il fasse beau le vendredi suivant ?2. Quelle est la probabilité qu’il fasse beau un vendredi s’il n’a pas fait beau le mercredi précédent ?3. Quelle est la probabilité Pn qu’il fasse beau le n-ième jour après un jour où il a fait beau ?4. Quelle est la limite de Pn lorsque n tend vers +?Solution 4 Nous avons PB2B1 = 0.7 et PB2B1 = 0, 4.1.PBJ=PBJBM PBM z =1+PBJBM PBM z =0car il fait beau mercredi=PBJBM = 0.7.DoncPBV = PBV BJPBJ + PBV BJPBJ = 0.7 × 0.7 + 0.4 × 1 0.7 = 0.61.3
Page 4 : 2. PBJ = 0.4, PBJ = 0.6, donc PBV = 0.7 × 0.4 + 0.4 × 0.6 = 0.52.3. Nous avons P0 = 1, P1 = 0.7, P2 = 0.61.Pn=PBnBn1Pn1 + PBnBn1Pn1 = 0.7Pn1 + 0.4 × 1 Pn1=0.4 + 0.3Pn1 = 0.4 + 0.30.4 + 0.3Pn2=...=0.4n1Xk=00.3k + 0.33P0=0.4 × 1 0.3n0.7+ 0.3n=471 0.3n + 0.3n.4. Puisque 0 0.3 1, il est clair que la limite vaut 47.Exercice 5 :Dans la forêt equatoriale, chaque naissance de gorilles donne un gorille gaucher avecune probabilité égale à 0.3. Un gorille gaucher sur trois a les yeux bleus, un gorille droitier sur quatrea les yeux bleus.1. Calculer la probabilité pour qu’un gorille pris au hasard ait les yeux bleus.2. Calculer la probabilité qu’un gorille ayant les yeux bleus soit gaucher.3. Calculer la probabilité que pour six naissances, il y ait au moins un gorille gaucher aux yeuxbleus.Solution 51. Nous avonsPB=PBGPG + PBDPD = 13 × 0.3 + 14 × 0.7 = 110 + 740 = 1140.2. Nous avonsPGB=PG BPB= PBG × PGPB=13 × 0.31140= 411.3. Soit E l’événement ‘pour six naissances, au moins un gorille gaucher aux yeux bleus’. Toutd’abord, la probabilité qu’un gorille soit gaucher et qu’il ait les yeux bleus est égale àPG B = 310 × 13 = 110.La probabilité qu’il n’ait pas ces deux caractéristiques simultanément estPG B = 910.Par suite,PE =PG B6 = 9106= 0.531.Donc, PE = 1 0.531441 = 0.469.Autre méthode : on peut considérer une variable aléatoire qui suit la loi binomiale.4
