DS3 2020 2021 V2
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Page 1 : Corrigé du DM 31. Exercice 1 : Calculer les limites suivantes :1. .- xlimx+→x + 122. .limx3→x - 3x - 333553. . limx+→ExxOù désigne la partie entière de .ExxRéponses : 1..- x ===x + 12-x+x+xx + 12x + 12x + 12x +1-x+x22x + 121+xx + 12+ x = + ⟹- x = 0.limx+→x + 12limx+→x + 122. On utilise l'identité remarquable : a - b= a - ba+ ab + ... + ab+ bnnn-1n-2n-2n-1==.x - 3x - 33355x - 3x + 3x + 3x - 3x + 3x + 3 x + 3 x + 322432234x + 3x + 9x + 3x + 9x + 27x + 812432On en déduit : .===limx3→x - 3x - 333559 + 9 + 981 + 81 + 81 + 81 + 813 × 95 × 811153. On sait que , et que .y R, E y ⩽y y ⩾0 ⟹E y ⩾0 On en déduit : .x R , 0 ⩽E⩽+xxPuis que : 0 ⩽⩽=.Exxxx1xFinalement : = 0 ⟹= 0.limx+→1xlimx+→Exx2. Exercice 2 :1. Donner la définition exacte, avec les quantificateurs, des propositions suivantes :a .f x = - limxa→ b f x = ℓ R.limx+→
Page 2 : 2. Utiliser la définition exacte avec les quantificateurs pour prouver que := - .limx1→-35 x - 12Réponses : 1. af x = - ⟺B 0, 𝛼 0, x D , x - a 𝛼⟹f x B.limxa→ f bf x = ℓ ⟺𝜖 0, A 0, x D , x A ⟹f x - ℓ 𝜖.limx+→ f 2. Soit , on cherche un réel tel que .B 0𝛼 0x D , x - 1 𝛼⟹f x Bf f x B ⟺ B ⟺ - B 0 -35 x - 1235 x - 12f x B ⟺⟺x - 1 5 x - 1321-B23-5Bf x B ⟺⟺x - 1 x - 12-35B-35BNous pouvons donc choisir .𝛼=-35BEn effet : .x 1, x - 1 ⟹x - 1⟹f x B-35B23-5B 3. Problème :Pour tout entier on considère la fonction définie par :n N ,f : 0, +Rn →.x 0, +, fx = e + nx - 3n x2On considère, dans cette question, un entier fixé.n N1. Montrer que la fonction est strictement croissante .fn2. Démontrer qu'il existe un unique réel tel que .𝛼0, 1nf𝛼= 0nnOn pourra, éventuellement dresser le tableau de variation de . fnOn considère maintenant la suite , d'éléments de définie dans la 𝛼nnN0, 1 ,question précédente. On fixe un entier n N . 3. Montrer que, pour un entier , on a : .n Nx 0, 1 , fx - fx 0n+1 n 4. En déduire le signe de , puis le sens de variations de la suite .f𝛼nn+1𝛼nnNRappel : f𝛼= 0.n+1n+1
Page 3 : 5. Justifier que la suite est convergente vers un réel .𝛼nnNℓ0, 16. Si on suppose , calculer la limite de : et en déduire une ℓ 0e+ n 𝛼- 3𝛼nn2contradiction.7. Conclure quant à la seule valeur possible de ℓ.Réponses : 1. .fx = e + nx - 3n x2 est une somme de fonctions strictement croissantes sur , donc elle est fn0, +strictement croissante.Ou bien : sur , donc elle est strictement croissante.f' x = e + 2nx 0n x0, +2. et car f0 = 1 - 3 = - 2 0n f1 = e + n - 3 ⩾e + 1 - 3 0n n ⩾1.Le théorème des valeurs intermédiaires et la croissance stricte de permettent de fnconclure : tel que .!𝛼0, 1nf𝛼= 0nn3. .x 0, 1 , fx - fx = e + n + 1 x - 3 - e + nx - 3 = x 0n+1 n x 2x224. En choisissant , on obtient : .x = 𝛼n+1f𝛼- f𝛼 0n+1n+1nn+1Comme, par définition, , on en déduit : .f𝛼= 0n+1n+1f𝛼 0nn+1Nous avons donc , d'une part : , et d'autre part : .f𝛼 0nn+1f𝛼= 0nnComme est strictement croissante, on en déduit : .fn𝛼 𝛼n+1nLa suite est décroissante et même strictement.5. est décroissante et minorée par , donc convergente vers un réel 𝛼nnN0ℓ.De plus : .𝛼0, 1⟹𝛼= ℓ0, 1nlimx+→n6. Si on suppose que , alors : .ℓ 0e= elimx+→𝛼nℓDe même n 𝛼= + ⟹e+ n 𝛼- 3 = + .limx+→n2limx+→𝛼nn2Mais : par construction même de la suite.e+ n 𝛼- 3 = f𝛼= 0𝛼nn2nnC'est une expression constante qui a donc pour limite 0.D'où la contradiction.7. On sait que et que est impossible, par conséquent : ℓ0, 1ℓ 0ℓ= 0.
