DS3 2020 2021
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 3N. Arancibia, M. Bahtiti, K. Guezguez, A. Hajej, B. Laquerriere, J.-M. MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 22 janvier 2021Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 heures 30 minutesNombre de pages : 5Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 Polynomes : 2.5 points.1. Soit P X KX et α K. Montrer queα est une racine de P X ⇐⇒P X est divisible par X α.2. Montrer que pour tout n N, X 12 divise nX n+1 n + 1X n + 1.1. 1 point La division euclidienne de P par X α s’écrit : P X = X αQX + λ. Ainsi :α est une racine de P ⇔P α = 0 ⇔λ = 02. 0.5 + 0.5 + 0.5 Soit P X = nX n+1 n + 1X n + 1. Alors P 1 = n n + 1 + 1 = 0, donc X 1 diviseP . Ensuite, P ′X = nn +1X n nn +1X n1, et P ′1 = nn +1nn +1 = 0. Donc 1 est une racinedouble de P et X + 12 divise P .Exercice 2 Polynomes : 4.5 points.L’objectif de cet exercice est de déterminer l’ensemble solution de l’équation :P X 2 = X 3 + 1P X d’inconnue P dans RX .1. Démontrer que le polynôme nul ainsi que le polynôme X 3 1 sont solutions du problème.2. Supposons que P soit une solution non nulle de l’équation.a Montrer que P est de degré 3.b Démontrer que P 1 = 0, puis que P ′0 = P ′′0 = 0 on pourra penser à dériver la relation P X 2 =X 3 + 1P X .c Démontrer qu’il existe λ R tel que P X = λX 3 1.3. En déduire l’ensemble solution de l’equation.1. 0.25 + 0.75 Le polynôme nul ne pose pas de problèmes. Soit P X = X 3 1, alors P X 2 = X 6 1 =X 3 1X 3 + 1 = X 3 + 1P X .- 1 / 5 -
Page 2 : 2. Soit n 0 le degré de P .a 0.5 point Alors l’équation nous donne 2n = n + 3, d’où n = 3.b 0.5 point Nous avons dans un premier temps P 1 = P 12 = 13 + 1P 1 = 2P 1. D’où P 1 = 0.1point Ensuite, dérivons une première fois l’équation : 2X P ′X 2 = 3X 2P X +X 3+1P ′X . Enévaluant en 0, nous avons 0 = P ′0.1point Dérivons une deuxième fois : 2P ′X 2 + 4X 2P ′′X 2 = 6X P X + 3X 2P ′X + 3X 2P ′X +X 3 + 1P ′′X . En évaluant en 0, nous avons 2P ′0 = P ′′0. Dons P ′′0 = 0.c 2 points Nous pouvons poser P X = a X 3+b X 2+c X +d et trouver a,b,c ,d grâce aux équationsprécédentes. Ou alors remarquer que 0 est une racine double de P ′X qui est de degré 2, doncP ′X = αX 2. En intégrant, nous avons P X = α3 X 3 +β. Or P 1 = 0 = α3 +β. Donc P X = α3 X 3 1 = λX 3 1.3. 0.5 points Nous venons de montrer que les seuls solutions non nulles sont de cette forme. Or engénéralisant le calcul de la question 1, on montre que tous les polynômes de cette forme sont solutions.Donc toutes les solutions sont le polynôme nul et les polynômes λX 3 1Exercice 3 Division euclidienne : 2.5 points.Déterminer le reste de la division euclidienne de X + 1n par X 12, pour n N.Indication : On pourra écrire la division euclidienne puis la dériver.Commençons par écrire la division euclidienne : P X = X + 1n = X 12QX + a X + b. En dérivantcette égalité d’après l’indication, nous avons nX + 1n1 = 2X 1QX + X 12Q ′X + a. En évaluantcette dernière égalité en X = 1, nous obtenons a = n2n1. En évaluant la première, toujours en 1, nousavons 2n = a + b. Donc b = 2n a = 2n 2n1n = 2n12 n. Ainsi, le reste de la division euclidienne est2n1nX + 2 n.0.5 div eucli + 0.5 dériv + 0.5 a + 0.5 b + 0.5 conclusionRemarque, pour n = 1, on a bien X + 11 = X 12 × 0 + X + 1 2n1nX + 2 n = X + 1. Pour n = 2, ona X + 12 = X 2 + 2X + 1 = X 2 2X + 1 + 4X = X 12 + 4X 2n1nX + 2 n = 22X .Exercice 4 Polynomes et Fractions rationnelles : 11.5 points.1. Soit RX = X 8 2X 7 2X 6 + 3X 5 + 3X 4 4X 2 X + 2.a Déterminer des racines de P dans l’ensemble ±1;±2;0;±i, ainsi que leurs multiplicités respec-tives.b En déduire la factorisation de R dans CX et RX .2. Soit F X = P X QX = 4X 66X 59X 4+10X 3+14X 24X +15X 13X +12X 2X 2+X +1.On pose Q1X =QX X 13 , Q2X =QX X +12 , Q3X = QX X 2, Q4X =QX X 2+X +1, ainsi que FiX = P X Qi X pour- 2 / 5 -
Page 3 : i = i,2,3,4. On donne enfin :F ′1 X = 4X 9 + 4X 8 25X 7 51X 6 + 7X 5 + 143X 4 33X 3 71X 2 + 11X + 8X 2 + X + 12X + 13X 22F ′2 X = 10X 8 38X 7 + 46X 6 + 6X 5 27X 4 + 138X 3 214X 2 70X 67X 2 + X + 12X 14X 22F ′3 X = 4X 9 8X 8 23X 7 + 13X 6 + 68X 5 + 20X 4 + 131X 3 + 147X 2 + 84X 4X 2 + X + 12X + 13X 14F ′4 X = 6X 7 12X 6 21X 5 + 37X 4 18X 3 + 44X 2 183X 37X + 13X 14X 22F X + 1 = 24 + 12X 10X 2 6X 3 + 21X 4 + 18X 5 + 4X 6X 312 12X + 5X 2 + 12X 3 + 6X 4 + X 5Déterminer les décompositions en éléments simples de F sur RX puis sur CX .1. Commençons pas calculer :P ′X = 8X 7 14X 6 12X 5 + 15X 4 + 12X 3 8X 1P ′′X = 56X 6 84X 5 60X 4 + 60X 3 + 36X 2 8P 3X = 336X 5 420X 4 240X 3 + 180X 2 + 72X0.5 x 3a 1 points Nous avons P 1 = P 2 = P 1 = 0. Les autres valeurs sont non nulles. Déterminonsles multiplicités de ces trois racines :P ′1 = 8 14 12 + 15 + 12 8 1 = 0P ′1 = 8 14 + 12 + 15 12 + 8 1 = 0P ′2 = 8 × 27 7 × 27 3 × 27 + 15 × 16 + 6 × 16 16 1 = 28 + 20 × 16 1 est impaire, donc non nulP ′′1 = 56 84 60 + 60 + 36 8 = 84 84 = 0P ′′1 = 56 + 84 60 60 + 36 8 = 140 120 + 28 = 48 ̸= 0P 31 = 336 420 240 + 180 + 72 = 72 ̸= 0Donc 1 est une racine triple, 1 une racine double et 2 une racine simple. Donc P se factorise parX 13X + 12X 2 = X 2 12X 2 3X + 2 = X 6 3X 5 + 6X 3 3X 2 3X + 2. 3 x 1 + 0.5b 1 point Faisons alors la division euclidienne et nous trouvons que le quotient est X 2 + X + 1 =X jX j 2. Nous avons donc :P X = X 13X + 12X 2X 2 + X + 1P X = X 13X + 12X 2X jX j 20.5 + 0.52. La décomposition s’écrit dans R la partie entière est nulle :F X =aX 2 +bX 1 +cX 12 +dX 13 +eX + 1 +fX + 12 +g X + hX 2 + X + 1- 3 / 5 -
Page 4 : Les coefficients a, d et f se trouvent facilement par multiplication évaluation :a = F32 = 28 3 × 26 9 × 16 + 80 + 56 8 + 1513 × 32 × 7= 64 160 + 16 + 136 + 763= 143 8063= 6363 = 1d = F11 = 4 6 9 + 10 + 14 4 + 154 × 1 × 3= 2412 = 2f = F21 = 4 + 6 9 10 + 14 + 4 + 158 × 3 × 1= 2424 = 1Nous pouvons ensuite calculer e :e = F ′2 1 = 10 + 38 + 46 6 27 138 214 + 70 6716 × 9= 10 100 + 40 27 214 + 3144= 50 24 21472= 288144 = 2Nous pouvons ensuite utiliser la limite de X F X en +pour obtenir :a + b + e + g = 0Soit, 3 + b + g = 0. Puis la valeur deF 0 = 152 = a2 b + c d + e + f + h = 12 b + c + 2 + 2 + 1 + hD’où b + c + h = 3. Pour finir, nous calculons b, c et d par la division selon les puissances crois-santes. On pose Y = X 1, soit X = Y + 1 etX 13F X = Y 3F Y + 1 = 24 + 12Y 10Y 2 + ...12 12Y + 5Y 2 + ...Nous avons alors successivement :24 + 12Y 10Y 2 = 212 12Y + 5Y 2 + ... 12Y + ...24 + 12Y 10Y 2 = 2 + Y 12 12Y + 5Y 2 + ... + 12Y 2 + ...24 + 12Y 10Y 2 = 2 + Y Y 212 12Y + 5Y 2 + ... + ...On en déduit alors d = 2 on le savait déjà, c = 1, b = 1. Ce qui nous permet de trouver les coeffi-cients manquants : g = 3 b = 2 et h = 3 + b c = 1. D’où la décomposition sur RX :F X =1X 2 1X 1 +1X 12 2X 13 +2X + 1 +1X + 12 +2X + 1X 2 + X + 10.5 point pas coeff trouvé donc 4 pointsPour la décomposition sur CX , il suffit alors de décomposer la dernière fraction :2X + 1X 2 + X + 1 =kX j +kX j 2Par multiplication, évaluation en X = j, on obtientk = 2j + 1j j 2 = 1 + 1 ip32i ℑmj= 2 ip3ip3= 1 2ip33La décomposition sur CX est donc :F X =1X 2 1X 1 +1X 12 2X 13 +2X + 1 +1X + 12 + 1 2ip33X j+ 1 + 2ip33X j 20.5 point- 4 / 5 -
