DS3 2021 2022 Correction

Correction proposée par Mathis S.

La plupart des résultats ont été vérifiés par l’outil informatique, mais si vous constatez une erreur, merci de contacter Mathis S.

Exercice 1 :

1.

$\mathrm{\forall }x\in ]-1,1[$, le problème se réécrit :

$$y^{{}^{\prime }}-\frac{2x}{1-x^2}y=\frac{1}{1-x^2}$$

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre.

$$a(x)=-\frac{2x}{1-x^2}$$ $$A(x)=\ln (1-x^2)$$ $$b(x)=\frac{1}{1-x^2}$$

Calculons les solutions de l’équation homogène associée :

Les solutions sont de la forme :

$$y_H=\lambda e^{-A(x)}=\lambda e^{-\ln (1-x^2)}=\lambda {\left(e^{\ln (1-x^2)}\right)}^{-1}=\frac{\lambda }{1-x^2}$$ $$y_H=\frac{\lambda }{1-x^2}$$

Calculons une solution particulière de cette équation, par variation de la constante :

$$y_P=\frac{\lambda (x)}{1-x^2}$$ $$y_P^{{}^{\prime }}(x)=\frac{{\lambda }^{{}^{\prime }}(x)(1-x^2)+2x\lambda (x)}{{(1-x^2)}^2}=\frac{{\lambda }^{{}^{\prime }}(x)}{1-x^2}+\lambda (x)\frac{2x}{{(1-x^2)}^2}$$ $$y_P^{{}^{\prime }}-\frac{2x}{1-x^2}{y}_P=\frac{1}{1-x^2}$$ $$\frac{{\lambda }^{{}^{\prime }}(x)}{1-x^2}+\lambda (x)\frac{2x}{{(1-x^2)}^2}-\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)\left(\frac{\lambda (x)}{1-x^2}\right)=\frac{1}{1-x^2}$$ $$\frac{{\lambda }^{{}^{\prime }}(x)}{1-x^2}=\frac{1}{1-x^2}$$ $${\lambda }^{{}^{\prime }}(x)=1$$ $$\lambda (x)=x$$ $$y_P=\frac{x}{1-x^2}$$

Détermination de l’ensemble des solutions de l’équation différentielle

$$y_G=y_H+y_P$$ $$y_G=\frac{\lambda +x}{1-x^2}$$

Vérification :

$$y^{{}^{\prime }}(x)=\frac{1-x^2+2x(\lambda +x)}{{(1-x^2)}^2}=\frac{(1-x^2+2\lambda x+2x^2)}{{(1-x^2)}^2}=\frac{x^2+2\lambda x+1}{{(1-x^2)}^2}$$ $$(1-x^2)y^{{}^{\prime }}-2xy=\frac{x^2+2\lambda x+1-2\lambda x-2x^2}{1-x^2}=\frac{1-x^2}{1-x^2}=1$$

Résolution du problème de Cauchy

$$y(0)=\lambda =1$$ $$y=\frac{1+x}{1-x^2}=\frac{1}{1-x}$$

2.

$$y^{{}^{″}}-6y^{{}^{\prime }}+13y=29e^{-2x}$$

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du deuxième ordre.

Calculons les solutions de l’équation homogène associée :

$$y^{{}^{″}}-6y^{{}^{\prime }}+13y=0$$

Soit $y=e^{rx},y^{‘}=r{e}^{rx},y^{{‘}^{\prime }}=r^2{e}^{rx}$

$$(r^2-6r+13)e^{rx}=0$$ $$r^2-6r+13=0$$ $$r^2-2(3r)+9+4=0$$ $$(r-3{)}^2=-4$$ $$r=3\pm 2i$$ $$y=e^{3x}(\lambda \cos (2x)+\mu \sin (2x))$$

Calcul d’une solution particulière :

$$g(x)=29e^{-2x}$$

$g(x)$ est de la forme $e^{\alpha x}$ avec $\alpha =-2$ n’est pas racine de l’équation caractéristique. On cherche des solutions de la forme :

$$y_P=\delta e^{-2x}$$ $$y_P^{{}^{\prime }}=-2\delta e^{-2x}$$ $$y_P^{{}^{″}}=4\delta e^{-2x}$$ $$y_P^{{}^{″}}-6y_P^{{}^{\prime }}+13y_P=29e^{-2x}$$ $$e^{-2x}\delta (4+12+13)=29e^{-2x}$$ $$29e^{-2x}\delta =29e^{-2x}$$ $$\delta =1$$

Donc une solution particulière de l’équation différentielle est $y_P=e^{-2x}$

Détermination de l’ensemble des solutions de l’équation différentielle

$$y_G=y_H+y_P$$ $$y_G=e^{3x}(\lambda \cos (2x)+\mu \sin (2x))+e^{-2x}$$

Vérification :

$$y_G^{{}^{\prime }}=3e^{3x}(\lambda \cos (2x)+\mu \sin (2x))+e^{3x}(2\mu \cos (2x)-2\lambda \sin (2x))-2e^{-2x}$$ $$y_G^{{}^{\prime }}=e^{3x}((3\lambda +2\mu )\cos (2x)+(3\mu -2\lambda )\sin (2x))-2e^{-2x}$$ $$y_G^{{}^{″}}=3e^{3x}((3\lambda +2\mu )\cos (2x)+(3\mu -2\lambda )\sin (2x))+e^{3x}((6\mu -4\lambda )\cos (2x)-(6\lambda +4\mu )\sin (2x))+4e^{-2x}$$ $$y_G^{{}^{″}}=e^{3x}((5\lambda +12\mu )\cos (2x)+(5\mu -12\lambda )\sin (2x))+4e^{-2x}$$ $$y_G^{{}^{″}}-6y_G^{{}^{\prime }}+13y_G=e^{3x}((5\lambda +12\mu -18\lambda -12\mu +13\lambda )\cos (2x)+(5\mu -12\lambda -18\mu +12\lambda +13\mu )\sin (2x))+(4+12+13)e^{-2x}=e^{3x}(0\cos (2x)+0\sin (2x))+29e^{-2x}$$

Résolution du problème de Cauchy

$$y(0)=\lambda +1=0\to \lambda =-1$$ $$y^{{}^{\prime }}=e^{3x}((2\mu -3)\cos (2x)+(3\mu +2)\sin (2x))-2e^{-2x}$$ $$y^{{}^{\prime }}(0)=(2\mu -3)-2=0$$ $$2\mu =5$$ $$\mu =\frac{5}{2}$$ $$y=e^{3x}(\frac{5}{2}\sin (2x)-\cos (2x))+e^{-2x}$$

Exercice 2 :

1.

$$I={\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx={[\arctan (x)]}_0^1=\arctan (1)=\frac{\pi }{4}$$

2.

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{n}{k^2+n^2}=\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2({\left(\frac{k}{n}\right)}^2+1)}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{{\left(\frac{k}{n}\right)}^2+1}$$

Par somme de Riemann :

$$S_n={\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=I=\frac{\pi }{4}$$

Exercice 3 :

I.1.

$$I_1={\int }_0^1\frac{e^{2x}}{e^x+1}dx$$

On pose $u=e^x$

$$du=e^{x}dx$$ $$I_1={\int }_1^e\frac{u}{1+u}du={\int }_1^e\frac{1+u}{1+u}du-{\int }_1^e\frac{1}{1+u}du={[u-\ln (1+u)]}_1^e=e-\ln (1+e)-1+\ln (2)=e-1+\ln \left(\frac{2}{1+e}\right)$$

I.2.

$$I_2={\int }_0^1{x}^3{e}^{x^2}dx$$

On pose $t=x^2$

$$dt=2xdx$$ $$x^3{e}^{x^2}dx=x^2{e}^{x^2}xdx=\frac{1}{2}t{e}^{t}dt$$ $$I_2=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}t{e}^{t}dt$$

On pose

$$u(t)=t,u^{{}^{\prime }}(t)=1$$ $$v^{{}^{\prime }}(t)=e^t,v(t)=e^t$$

Par intégration par parties,

$$I_2=\frac{1}{2}{\left[t{e}^t\right]}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{t}dt$$ $$I_2=\frac{1}{2}{[t{e}^t-e^t]}_0^1=\frac{1}{2}$$

II.

$$\text{Posons}f(x)=\frac{2x+1}{x^2+3x+2}$$ $$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$ $$f(x)=\frac{\alpha }{x+1}+\frac{\beta }{x+2},\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$$ $$2x+1=\alpha (x+2)+\beta (x+1)$$

Avec $x=-1,-1=\alpha$

Avec $x=-2,-3=-\beta ,\beta =3$

$$f(x)=-\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x+2}$$ $$P=-{\int }_{}^{}\frac{dx}{x+1}+3{\int }_{}^{}\frac{dx}{x+2}$$ $$P=-\ln |x+1|+3\ln |x+2|$$

Exercice 4 :

1.

Utilisons le changement de variable $t=\frac{\pi }{2}-x$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}{\cos (\frac{\pi }{2}-x)+\sin (\frac{\pi }{2}-x)}dx={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{\sin (t)}{\sin (t)+\cos (t)}(-dt)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (t)}{\sin (t)+\cos (t)}dt$$

Donc

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\sin (x)+\cos (x)}dx$$ $$2I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)}dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\sin (x)+\cos (x)}dx$$ $$2I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1dx=\frac{\pi }{2}$$ $$I=\frac{\pi }{4}$$

2.

$$t=\cos (x)$$ $$dt=-\sin (x)dx$$ $${\int }_0^1\frac{dt}{t+\sqrt{1-t^2}}={\int }_{\frac{\pi }{2}}^0\frac{-\sin (x)}{\cos (x)+\sin (x)}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin (x)}{\sin (x)+\cos (x)}dx=\frac{\pi }{4}$$