DS3 2021 2022
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Page 1 : 2021/2022Département MathématiquesPreIng-2Algèbre linéaire et bilinéaireDevoir surveillé 33 juin 2022Sujet pour les groupes de TD : 1, 3 et 4.◁Consignes ▷Durée : 90 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L'épreuve est composée de 4 exercices indépendants.◁Sujet de l'épreuve ▷Exercice 1.xx pointsSoit E = C1a, b , R. Pour tout f, g E, on poseϕf, g = faga +Z baf ′tg′tdtMontrer que ϕ est un produit scalaire sur E.Exercice 2.xx pointsOn considère E = R3X muni de son produit scalaire canonique, i.e. :P =3Xi=0aiXi R3X et Q =3Xi=0biXi R3X⟨P, Q⟩=3Xi=0aibiet de sa base canonique B = 1, X, X2, X3.1 Vérier que ⟨. , .⟩est un produit scalaire sur E.2 Déterminer la matrice de ⟨. , .⟩dans la base B.3 Déterminer la matrice de ⟨. , .⟩dans la base B′ = 1, 1 + X, 1 + X2, 1 + X3 de E.4 Soit F le sous-ensemble de E dénit parF = P E : P0 = P1 = P1 = 0a Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.b Déterminer une base de F.1
Page 2 : c Déterminer F . On rappelle que si F = V ectP1, . . . , Pn, alorsF = P E : i 1, n ; P PiExercice 3.xx pointsOn travaille dans Rn muni de son produit scalaire canonique i.e. :x = x1, . . . , xn Rn,y = y1, . . . , yn Rn⟨x, y⟩=nXi=1xiyiMontrer quen2 nXi=1i!2n2n + 12Indication : penser à l'inégalité de Schwarz,⟨x, y⟩2 ⟨x, x⟩⟨y, y⟩Exercice 4.xx pointsSoit B = e1, e2 la base canonique de R2. Considérons la forme sur R2 suivanteϕx, y = x1 + x2y1 + y2 + x1y1 + x2y2x = x1, x2, y = y1, y2 R2a Montrer qu'il existe A M2R telle queϕx, y = XT AYavecX = MBx et Y = MByb Vérier que ϕ est un produit scalaire sur R2.c Donner la matrice de ϕ dans la base canonique B. B est-elle orthonormale selon ϕ ?d On rappelle que la norme euclidienne associée à un produit scalaire ϕ est dénie parx=pϕx, xExpliciter la norme euclidienne .associée à ϕ. Calculer la norme du vecteur e1 = 1, 0.2
