DS3 2021 2022
Télécharger le DS3 2021 2022 en pdf
Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 3Algèbre IDate: Vendredi 21 Janvier 2022L’usage de tout appareil électronique est interditDurée: 1h30Nombre de pages: 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte 5 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 11. Résoudre dans C, l’équation suivanteE : z5 = 1.2. Placer les solutions de l’équation E dans le plan complexe.3. Montrer que pour tout nombre complexe a C, nous avonsX aX a = X 2 2ReaX + a 2.4. Considérons le polynôme PX = 5X 5 5.a Donner la décomposition en produit de facteurs irréductibles de P sur CX .b Donner la décomposition en produit de facteurs irréductibles de P sur RX .Exercice 2Soit a R.1. Exprimer cos5a en fonction de sina et de cosa.En déduire une expression de cos5a en fonction de cosa.2. À l’aide de la question précédente, montrer que16cos5 ³π520cos3 ³π5+5cos³π5+1 = 0.3. L’objectif de cette question est de déterminer les racines du polynômePX = 16X 5 20X 3 +5X +1.1
Page 2 : a Trouver une racine rationnelle évidente de PX .b Soit α cette racine. Effectuer la division euclidienne de P par X α.c Vérifier que QX = 4X 2 2X 12.d Déterminer les racines du polynôme PX = 16X 5 20X 3 +5X +1.4. Déduire des questions précédentes la valeur de cos¡ π5¢.Exercice 3On considère les polynômes P et Q de RX définis parPX = X 5 +8X 4 +26X 3 +44X 2 +40X +16;QX = X 2 +2X +2.1. Justifier que le polynôme Q est irréductible dans RX .2. Déterminer les racines du polynôme Q.3. Donner la décomposition en produit de facteurs irréductibles de Q sur RX et sur Cx.4. Montrer que 2 est une racine de P.5. Déterminer l’ordre de multiplicité de 2 dans P.6. Soit m l’ordre de de multiplicité de 2 dans P. Écrire la division euclidienne de P par X +2m?7. Donner la décomposition en produit de facteurs irréductibles de P sur RX et sur Cx.Exercice 4Soit w = 1p2+i1. Calculer la forme algébrique et exponentielle du nombre complexe w2.2. Calculer le discriminant du polynômep2X 2 p2+1+iX +1+i.En déduire la forme algébrique des deux nombres complexes z1 et z2, solutions de l’équationp2z2 p2+1+iz +1+i = 0.3. Donner la forme exponentielle des nombres complexes z1 et z2.4. Déterminer la forme exponentielle des racines cubiques des nombres complexes z1 et z2.5. En déduire la forme algébrique de tous les nombres complexes z, qui sont solution de l’équationp2z6 p2+1+iz3 +1+i = 0.2
Page 3 : SectionBarèmeExercice 1 4 points1 1 point 2 0.5 point 3 0.5 point 4 a 1 point b 1 pointExercice 2 5.5 points 1 a 1.5 points b 0.5 point 2 0.5 3 a 0.5 b 1 c 0.5 d 0.5 4 0.5Exercice 3 5.5 points 1 0.5 2 0.5 3 0.5+0.5 4 0.5 5 1 6 1 7 0.5+0.5Exercice 4 4 points 1 0.5 + 0.5 2 0.5+0.5 3 0.25+0.25+0.25 4 0.25+0.25+0.25 5 0.5Exercice 0.1.1. 1pt z5 = 1, S =n1, ei 2π5 ,ei 4π5 ,ei 6π5 ,ei 8π5o2. 0.5pt sur un pentagone pointé sur 1.3. 0.5ptX aX a = X 2 a + a+ aa = X 2 2ReaX +a24. 1pt + 1pt On écrit5¡X 5 1¢= 5X 1³X ei 2π5³X ei 4π5³X ei 6π5³X ei 8π5= 5X 1³X ei 2π5³X ei 8π5³X ei 4π5³X ei 6π5= 5X 1¡X 2 2cos 2π5 X +1¢¡X 2 2cos 4π5 X +1¢Exercice 0.2.1. 1.5pt On utilise la formule de De Moivre:= ei5a= cos5a +i sin5a= cosa +i sina5= cos5 a +5cos4 a i sina1 +10cos3 a i sina2 +10cos2 a i sina3 +5cos1 a i sina4 +i sina5= cos5 a +5i cos4 a sina 10cos3 a sin2a 10i cos2 a sin3 a +5cosa sin4 a i sin5 aDonccos5a = cos5 a 10cos3 a sin2a +5cosa sin4 aIl vient 0.5ptcos5a = cos5 a 10cos3 a¡1cos2a¢+5cosa¡1cos2 a¢2 = 16cos5 a 20cos3 a +5cosa2. 0.5pt Avec a = π5 , on obtient cosπ = 16cos5 π5 20cos3 π5 +5cos π5Or cosπ = 1 donc cosπ = 16cos5 π5 20cos3 π5 +5cos π5 +1=03.a 0.25pt On a P1 = 0 donc 1 est une racine évidente.b 1pt 16X 5 20X 3 +5X +1 = X +1¡16X 4 16X 3 4X 2 +4X +1¢c 0.25pt 16X 4 16X 3 4X 2 +4X +1 =¡4X 2 2X +1¢2d 1pt On a finalement 16X 5 20X 3 +5X +1 = X +1¡4X 2 2X 1¢2qui est développement en facteurs irréductibles de P sur RX On résout 4X 2 2X +1 = 22 +44 =³2p52On a donc x1 = 2+2p58=1+p54= et x2 = 1p543
Page 4 : 4. 0.5pt La seule racine postive, comme cos π5 est 1+p54donc cos π5 = 1+p54Exercice 0.3.1. 0.25pt On calcule le discriminant: = 22 42 = 2i2 donc le polynôme Q est irré-ductible.2. 0.5pt x1 = 2+2i2= 1+i et x2 = 1i3. 0.75 pt DoncQX = X +1iX +1+i décomposition sur CX etQX = X 2+2X +2 décompositionsur RX 4. 0.5pt On calcule P2 = 05. 1.5pt On a P′X = 5X 4 +32X 3 +78X 2 +88X +40et P′2 = 0On a aussi P"X = 20X 3 +96X 2 +156X +88 et P"2 = 0P′′′X = 60X 2 +192X +156 et P′′′2 = 12 donc -2 est de multiplicité 3.6. 1pt On calcule X +23 = X 3 +6X 2 +12X +8La division euclidienne s’écrit: X 5 + 8X 4 + 26X 3 + 44X 2 + 40X + 16 =¡X 2 +2X +2¢X + 23 + 0 avecdeg0 37. 1pt C’est également la décomposition en facteurs premiers de P sur RX car Q est irréductible.Sur CX , on a PX =X +23X +1iX +1+iExercice 0.4.1. 1pt On calcule:w2 =¡1p2+i¢2 =¡1p2¢2 1+2i¡1p2¢= 22p2+i¡22p2¢= 2¡1p2¢1+i = 2¡p22¢ei π4 = 2¡2p2¢ei 3π42. 0.5pt Le discriminant est=¡p2+1+i¢2 4p21+i = 2+2p2+i2¡p2+1¢4p24p2i= 22p2+i¡22p2¢= w21pt z1 =p2+1+i ¡1p2+i¢2p2= 1 = ei0 et z1 =p2+1+i +¡1p2+i¢p2=p2+ip2 = 2ei π43. 1pt Formes exponentielles ci-dessus.4. 2pt On résout z1 =³reiθ3⇔e0 =³reiθ3⇔r 3 = 1 et 3θ = 2kπ, k Z⇔r = 1 et θ = 2kπ3 , k Z Les racines cubiques de z1 sont 1,ei 2π3 ,ei 4π3On résout z2 =³reiθ3⇔e0 =³reiθ3⇔r 3 = 2 et 3θ = π4 +2kπ, k Z sont3p2ei π12 ,3p2ei 3π4 ,3p2ei 17π124
Page 5 : 5. 1pt On a les équivalences suivantes:p2z6 ¡p2+1+i¢z3 +1+i = 0 ⇔Z = z3 etp2Z 3 ¡p2+1+i¢Z +1+i = 0⇔z1 = z3 ou z2 = z3S =n1, j, j 2,3p2ei π12 ,3p2ei 3π4 ,3p2ei 17π12o=n1,3p2cos π12 +3p2sin π12i,12 +p32 i,12 p32 i,3p2p22 +3p2p22 i,3p2cos 7π12 3p2sin 7π12 io5
