DS3 2021 2022
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Page 1 : Preing 2Devoir Surveille 3Matiere : Analyse dans RnDate : Jeudi 27 Janvier 2022L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1.1. Resoudre le systeme suivant :fx = 12y2 + 2xy + ex + sin2xfy = y2 + xy + x22. Preciser, en justifiant, sur quel domaine ce systeme est resolvable.Exercice 2. Soit D =nx, y R2/y ̸= 0, y ̸= xoet φ le changement de variables de D defini parφx, y = xy , x y = u, v.1. Montrer que φ est un C1-diffeomorphisme.2. Trouver f de classe C1 sur D qui verifie l’equation suivante :x, y D,xfx + yfy = x + y2.Exercice 3. Soit f : R2 →R une fonction definiefx, y =x + y4x2 + y2:six, y ̸= 0, 00:six, y = 0, 01. Montrer que f est continue sur R2.2. Calculer les fonctions fx et 2fx2 sur R2. Que peut-on en deduire sur la classe de la fonctionf sur R2 ?1
Page 2 : Exercice 4. Soit φ le changement de variables de R2 a valeur dans R2 defini par φx, y =x + 2y, x ay = u, v ou a R⧹0, ±2. Soit f une application de classe C2 sur R2, et gl’application definie sur R2 par fx, y = g ◦φx, y = gu, v.1. Montrer que φ est un C2-diffeomorphisme.2. Calculer l’expression de fx, fy , 2fx2 , 2fy2 , 2fxy en fonction de celles de g et uniquementdes variables u et v.3. Trouver f de classe C2 sur R2 qui verifie l’equation suivante :2a2fx2 + 2 a 2fxy 2fy2 = a + 23x + y.2
