DS3 2021 2022
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Page 1 : Preing 1Devoir Surveille 3Matiere : Mathematiques - AnalyseDate : Lundi 24 Janvier 2022L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1. Calculer les limites suivantes :1.limx→+qxx2 + x x3.2.limx→11 x21 x3 .3. limx→0ex 15x + x2 .4.limx→+Elnxx.Ou Elnx designe la partie entiere de lnx.Exercice 2.1. Donner la definition exacte, avec les quantificateurs, des propositions suivantes :a limx→a fx = ℓ, ou a et ℓsont des nombres reels.blimx→fx = +.2. Utiliser la definition exacte avec les quantificateurs pour prouver que :limx→5x + 5x 5 = 0.On pourra supposer x 0.Exercice 3. Soit f la fonction definie sur 0, + parfx =5x x3x + x.1. Etudier la continuite de f.1
Page 2 : 2. Montrer que l’on peut prolonger f par continuite en 0 par une fonction continue ˜f.Determiner ˜f.Exercice 4. Soit f la fonction definie sur R parfx =x24x+3x3si x 3eax + axsi x 3ou a R.1. Determiner limx→3+x2 4x + 3x 3.2. Montrer que f est continue sur R \ 3.3. Montrer qu’il existe a 0, 1 tel que f est continue en x = 3.Indication : Pensez a appliquer le TVI a la fonctionga = e3a + 3a 2.Exercice 5.1. Soit f une fonction continue sur 0; 1 telle que f0, 1 0, 1. On considere la fonctiongx = fx 5x 2x2.a Montrer que g est continue sur 0, 1.b Montrer qu’il existe c 0, 12tel quefc = 5c + 2c2.2. Montrer que l’equation x2cosx5 + x sinx + 1 = 0 admet au moins une solution reelle.2
