DS3 2021 2022
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Page 1 : Pr´eing 1DS 6 analyseMatiere : Math´ematiques - analyseDate : Mardi 31 mai 2022L’usage de tout appareil ´electronique est interditDur´ee : 1h30Nombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont trait´es n’est pas impos´e.♣♣♣Exercice 1 : 8 ptsR´esoudre les problemes de Cauchy suivants :1. 1 x2y′ 2xy = 1;ety0 = 1, pour tout x 1, 1.2. y′′ 6y′ + 13y = 29e2x;ety0 = 0ety′0 = 0.Exercice 2 : 3 pts1. Calculer l’int´egrale suivante : I =Z 101x2 + 1 dx.2. En d´eduire la limite de la suite : Sn =nXk=1nk2 + n2 .Exercice 3 : 6 ptsI - A l’aide d’un changement de variable, calculer les int´egrales suivantes :1. I1 =Z 10e2xex + 1 dx.2. I2 =Z 10x3ex2 dx, avec t = x2.II - Calculer la primitive suivante :P =Z2x + 1x2 + 3x + 2 dx.Exercice 4 : 5 pts1. A l’aide du changement de variable t = x π2 , montrer que :I =Zπ20cosxsinx + cosx dx =Zπ20sinxsinx + cosx dx = π4 .2. En d´eduire la valeur de l’int´egrale suivante on pourra effectuer le changement de variablet = cosx :Z 10dtt +1 t2 .1
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