DS3 2022 2023 V2 (bout) Correction

Correction proposée par Mathis S.

La correction a été faite dans la précipitation, il est donc normal que la correction ne soit pas ultra détaillée, si vous constatez une erreur, merci de contacter Mathis S.

1.

a.

\[M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & - 2 \\ - 1 & - t & 1 \\ - 1 & 0 & t \end{pmatrix}\]

1.a.

Méthode 1 : $$M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \

• 1 & - t & 1 \
• 1 & 0 & t \end{pmatrix},\det(M) = 2\left| \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \
• 1 & - t & 1 \
• 1 & 0 & t \end{matrix} \right|$$

\[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \\ 0 & 2 & t - 1 \end{pmatrix},\det(M) = 2\left| \begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \\ 0 & 2 & t - 1 \end{pmatrix} \right|\] \[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 & t - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \end{pmatrix},\det(M) = - 2\left| \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 & t - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \end{matrix} \right|\] \[\det(M) = - 2\left| \begin{matrix} 2 & t - 1 \\ 2 - t & 0 \end{matrix} \right| = 2(t - 1)(2 - t)\] \[\det(2M) = 2^{3}\det(M) = 8\det(M) = 16(t - 1)(2 - t)\] \[\det\left( M^{2} \right) = {\det(M)}^{2} = 4(t - 1)^{2}(2 - t)^{2}\]

Methode 2 :

\[\det(M) = - 2t^{2} - 4( - t + 1) - 2( - t) = - 2t^{2} + 4t - 4 + 2t = - 2t^{2} + 6t - 4\]

b.

Si $t = 2$, $rg(M) = 2$

Si $t \neq 2$

\[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2(2 - t) & (t - 1)(2 - t) \\ 0 & 2(2 - t) & 0 \end{pmatrix}\] \[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2(2 - t) & (t - 1)(2 - t) \\ 0 & 0 & (t - 1)(2 - t) \end{pmatrix}\]

SI $t = 1$, $rg(M) = 2$

Si $t \neq 2,\ t \neq 1,\ rg(M) = 3$

c.

$f$ est injective/surjective/bijective si et seulement si

$t \notin { 1,2 }$

2.a.

\[f(x,y,z) = (2x + 4y - 2z, - x - y + z, - x + z)\]

2.b.

\[rg(f) = rg(M) = 2\]

D’après le théorème du rang,

\[\dim\left( \ker f \right) = \dim\left( \mathbb{R}^{3} \right) - rg(f) = 1\]