DS3 2022 2023 V2 (bout) Correction DS-Algebre2 PREING1 S2

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Correction proposée par Mathis S.

La correction a été faite dans la précipitation et peut contenir quelques erreurs, il est donc normal que la correction ne soit pas ultra détaillée, si vous constatez une erreur, merci de contacter Mathis S.

1.

a.

\[M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & - 2 \\ - 1 & - t & 1 \\ - 1 & 0 & t \end{pmatrix}\]

1.a.

Méthode 1 : $$M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \

• 1 & - t & 1 \
• 1 & 0 & t \end{pmatrix},\det(M) = 2\left| \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \
• 1 & - t & 1 \
• 1 & 0 & t \end{matrix} \right|$$

\[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \\ 0 & 2 & t - 1 \end{pmatrix},\det(M) = 2\left| \begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \\ 0 & 2 & t - 1 \end{pmatrix} \right|\] \[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 & t - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \end{pmatrix},\det(M) = - 2\left| \begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 & t - 1 \\ 0 & 2 - t & 0 \end{matrix} \right|\] \[\det(M) = - 2\left| \begin{matrix} 2 & t - 1 \\ 2 - t & 0 \end{matrix} \right| = 2(t - 1)(2 - t)\] \[\det(2M) = 2^{3}\det(M) = 8\det(M) = 16(t - 1)(2 - t)\] \[\det\left( M^{2} \right) = {\det(M)}^{2} = 4(t - 1)^{2}(2 - t)^{2}\]

Methode 2 :

\[\det(M) = - 2t^{2} - 4( - t + 1) - 2( - t) = - 2t^{2} + 4t - 4 + 2t = - 2t^{2} + 6t - 4\]

b.

Si $t = 2$, $rg(M) = 2$

Si $t \neq 2$

\[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2(2 - t) & (t - 1)(2 - t) \\ 0 & 2(2 - t) & 0 \end{pmatrix}\] \[M\sim\begin{pmatrix} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 2(2 - t) & (t - 1)(2 - t) \\ 0 & 0 & (t - 1)(2 - t) \end{pmatrix}\]

SI $t = 1$, $rg(M) = 2$

Si $t \neq 2,\ t \neq 1,\ rg(M) = 3$

c.

$f$ est injective/surjective/bijective si et seulement si

$t \notin { 1,2 }$

2.a.

\[f(x,y,z) = (2x + 4y - 2z, - x - y + z, - x + z)\]

2.b.

\[rg(f) = rg(M) = 2\]

D’après le théorème du rang,

\[\dim\left( \ker f \right) = \dim\left( \mathbb{R}^{3} \right) - rg(f) = 1\]