DS3 2022 2023
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Page 1 : 2022/2023Département MathématiquesPreIng2Algèbre linéaire et bilinéaireDevoir surveillé 37 juin 2023◁Consignes ▷Durée : 90 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L'épreuve est composée de 3 exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.Important▶Veuillez écrire lisiblement votre NOM et votre PRÉNOM et en lettres majuscules.▶Veuillez également noter le NOM ou le NUMÉRO de votre groupe sur votre copie.Tout manquement à ces consignes entrainera des sanctions.◁Sujet de l'épreuve ▷Exercice 1.5 pointsRésoudre le système diérentiel linéairex′ = 5x 7y + 7zy′ = 3x 3y + 5zz′ = 3x y + 3zExercice 2.7 pointsOn xe a, b R. Pour tout x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2 on poseφx, y = ax1y1 + bx1y2 + 3x2y1 + x2y2.1. Montrer que pour tout a, b R, φ est une forme bilinéaire sur R2 × R2.2. Montrer que φ est symétrique si et seulement si b = 3.3. On xe b = 3. Montrer que pour tout x = x1, x2 :φx, x = a 9x21 + 3x1 + x22.4. En déduire une condition nécessaire et susante sur a pour que φ soit un produit scalaire.Dans la suite de l'exercice on xe a = 13 et b = 3.5. Montrer que les vecteurs v1 = 1, 1 et v2 = 1, 4 sont orthogonaux pour le produit scalaire φ.1
Page 2 : 6. En déduire v1.7. Transformer la base B = v1, v2 en une base orthonormale de R2.Exercice 3.8 pointsOn considère E = R2X. Pour tout P, Q E, on pose⟨P, Q⟩= P1Q1 + 2P0Q0 + P1Q1.1. Montrer que ⟨·, ·⟩est un produit scalaire sur E.On notera · la norme associée au produit scalaire ⟨·, ·⟩.2. Calculer la norme du polynôme constant P = 1. On notera P0 =11.3. Montrer que le polynôme P = X est orthogonale à P0 pour le produit scalaire ⟨·, ·⟩.4. Calculer X. On notera P1 =XX.5. On pose Q = X2 ⟨X2, P0⟩P0 ⟨X2, P1⟩P1 et P2 =QQ. Calculer les coecients de P2.6. Montrer que P0, P1, P2 forme une base orthonormée de R2X pour le produit scalaire ⟨·, ·⟩.2
