DS3 2022 2023
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Page 1 : Preing 1Devoir Surveille 3Matiere : AlgebreDate : lundi 5 juin 2023Le bareme est donne a titre indicatif.Duree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.L’usage de tout appareil electronique est interdit. Aucun document n’est autorise.Le sujet comporte 2 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1 :Soit g : R3 →R3 une application lineaire telle que :g1, 0, 0 = 3, 1, 0,g0, 0, 1 = 1, 2, 0etKerg = λ, λ, λ λ R.1. Donner une base de Kerg et sa dimension.2. Donner V un supplementaire de Kerg dans R3.3. En utilisant la definition de Kerg deduire que g0, 1, 0 = 4, 3, 0. Penser a1, 1, 1 = 1, 0, 0 + 0, 1, 0 + 0, 0, 1.4. Donner la matrice MBcg de g dans la base canonique Bc de R3Bc = e1 = 1, 0, 0, e2 = 0, 1, 0, e3 = 0, 0, 1.5. Pour un quelconque x, y, z R3, trouver l’expression analytique de gx, y, z.Exercice 2 :Soit f un endomorphisme de R3 defini parx, y, z R3;fx, y, z = 2x, y + z, x + y + z1. Determiner A la matrice de f dans la base canonique de R3Bc = e1 = 1, 0, 0, e2 = 0, 1, 0, e3 = 0, 0, 1.2. Calculer detA. Est-ce que f est un isomorphisme de R3 ?3. Determiner une base de Kerf et une base de Imf. Donner la dimension de Kerf etle rang de f dimension de Imf l’espace image de f .4. Montrer que R3 = Kerf L Imf.1
Page 2 : 5. On considere la famille de vecteurs B de R3 suivante :B = v1 = 0, 1, 1, v2 = 0, 1, 1, v3 = 2, 1, 0a Montrer que B est une base de R3.b Determiner T la matrice de f dans la base B.c Pour tout n N, montrer queT n =00002nn2n1002n6. On appelle matrice de passage de la base Bc a la base B la matrice P de M3 dont les colonnessont les coordonnees des vecteurs de B exprimees dans la base Bc.On appelle matrice de passage de la base B a la base Bc la matrice P 1 de M3 dont lescolonnes sont les coordonnees des vecteurs de Bc exprimees dans la base B.a Calculer la matrice P et la matrice P 1.b Ecrire A en fonction de T, P et P 1.c Recalculer la matrice P 1 par une autre methode. la methode de Gausse-Jordan ou lamethode de comatrice.2
