DS3 2022 2023
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Page 1 : Preing 1Devoir Surveille 3Matiere : Mathematiques - AnalyseDate : Jeudi 26 Janvier 2023L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.Exercice 1. 8 points : Determiner, si elle existe, la limite de chacune des fonctions suivantes.Sinon, justifier pourquoi il n’y a pas de limite. :1. limx→0r1 + 1x r1x.Solution : 2 points Nous avonslimx→0r1 + 1x r1x=limx→0 r1 + 1x r1x!·q1 + 1x +q1xq1 + 1x +q1x=limx→01 + 1x 1xq1 + 1x +q1x=limx→01q1 + 1x +q1x= 0.2. limx→0 x2 · E1x.Solution : 2 points Nous avons1x 1 E1x1x=⇒x x2 x2 · E1xx=⇒0 = limx→0 x x2 limx→0 x2 · E1xlimx→0 x = 0=⇒limx→0 x2 · E1x= 01
Page 2 : 3.limx→0cosx 1xSolution : 2 points Nous avonslimx→0cosx 1x=limx→0cosx cos0x 0= cos′0 = sin0 = 0.4.limx→0x2 + xx.Solution : 2 points Nous avonslimx→0+x2 + xx= limx→0+x2 + xx= x + 1 = 1.etlimx→0x2 + xx= limx→0x2 xx= x 1 = 1.La limite n’existe donc pas.Exercice 2. 4 points1. Donner la definition exacte, avec les quantificateurs, des propositions suivantes :a limx→a fx = +, ou a est un nombre reel.Solution : 1 point Supposons a et ℓsont des nombres reels. La limite de f en a est egala ℓ, si et seulement siM 0, δ 0, x R, x a δ=⇒fx M.blimx→fx = ℓ, ou ℓest un nombre reel.Solution : 1 point La limite de f en est egal a ℓ, si et seulement siε 0, B 0, x R, x B=⇒fx ℓ ε.2. Utiliser la definition exacte avec les quantificateurs pour prouver que :limx→25x + 2x + 2 = 3.Solution : 2 points Soit ε 0. Montrons qu’il existe δ 0, tel que pour tout x R,avec x 2 δ, on a5x + 2x + 2 3 ε.2
Page 3 : Maintenant, pour tout x R, nous avons5x + 2x + 2 3 ε⇐⇒5x + 2x + 2 3x + 6x + 2 ε⇐⇒2 ·x 2x + 2 ε.Comme nous cherchons la limite en 2, nous pouvons supposer x 0, ce qui nous donne :x 0 =⇒x + 2 2 =⇒1x + 2 12 =⇒x 2x + 2 x 22Ainsi pour avoir5x + 2x + 2 3 = 2 ·x 2x + 2 ε,il suffit d’avoir2 · x 22= x 2 εOn peut donc choisirδ = ε,pour conclurex 0, x 2 δ=⇒5x + 2x + 2 3 ε.Exercice 3. 6 points1. Soit f la fonction definie sur R \ 1 parfx = x 1x3 1.a Etudier la continuite de f sur R \ 1.Solution : 1 point Les fonctionsx 1etx3 1sont continues sur R \ 1. De plus la fonction x3 1 ne s’annule pas sur R \ 1. Leurquotientfx = x 1x3 1.definit donc une fonction continue sur R \ 1.3
Page 4 : b Demontrer qu’on peut prolonger f par continuite en 1. Preciser la valeur prise en 1 parce prolongement.Solution : 2 points En effectuant la division euclidienne de x3 1 par x 1, onobtientx3 1 = x 1x2 + x + 1Ainsi, pour tout x R \ 1, nous avonsfx = x 1x3 1=x 1x 1x2 + x + 1=1x2 + x + 1.Par consequentlimx→1 fx=limx→11x2 + x + 1 = 13.Comme la limite de f en 1 existe, nous pouvons prolonger f par continuite en 1 endefinissant˜fx = fxsi x ̸= 1,13si x = 1.2. Soit f : R →R definie parfx = Ex +px Ex.Etudier la continuite de f sur R.Solution : La fonctionx Exest une fonction continues sur R \ Z a valeurs dans R+. Ainsi la composition x Ex avecx 7→x definit une fonction continue sur R \ Z, et on peut dire le mˆeme de la fonctionEx +px Ex. Il ne nous reste que a etudier la continuite de f sur Z. Soit n Z, nousavons :limx→nEx +px Ex=limx→nn 1 +px n 1=n 1 +pn n 1 = n 1 + 1 = n.etlimx→n+ Ex +px Ex=limx→nn +x n=n +n n = n.Par consequentlimx→nEx +px Ex = fn = limx→n+ Ex +px Ex.La fonction f est donc continue sur R.4
Page 5 : Exercice 4. 7 points1. Enoncer le Theoreme des valeurs intermediaires. 1 point2. Soient f, g : a, b →R continues telles que fa ga et fb gb. Montrer qu’il existec a, b, tel quefc = gc.Solution : 2 points Soit φ la fonction definie sur a, b par :φx = fx gx.Alors• φ est continue.• De plus :fa ga=⇒φa = fa ga 0fb gb=⇒φb = fb gb 0.Ainsiφa 0 φb.D’apres le Theoreme des valeurs intermediaires, il existe donc c a, b, tel que :φc = 0=⇒fc gc = 0=⇒fc = gc.3. Soit f : 0, 1 →0, 1 une fonction continue.a Montrer qu’il existe c 0, 1 tel quefc = c.Solution : 2 points Soit φ la fonction definie sur 0, 1 par :φx = fx x.Alors• φ est continue.• De plus :f0 0, 1=⇒0 f0=⇒φ0 = f0 0 0.f1 0, 1=⇒f1 1=⇒φ1 = f1 1 0.Ainsiφ1 0 φ0.D’apres le Theoreme des valeurs intermediaires, il existe donc c 0, 1, tel que :φc = 0=⇒fc c = 0=⇒fc = c.5
Page 6 : b En deduire que l’equation cos x = x admet une solution comprise entre 0 et 1.Solution : 1 point Nous avons0, 1 h0, π2i=⇒cos0, 1 cosh0, π2i= 0, 1.D’apres la question precedente, il existe donc c 0, 1 tel que cosc = c.c En deduire qu’il existe a 0, 1 tel que la fonction f definie sur R parfx =x22x+2x+1si x 1ax3 cosax · x + 12si x 1,soit continue en x = 1.Solution : 1 point La fonction f est continue en 1 si et seulement silimx→1x2 2x + 2x + 1= 12 = f1 = a cosa + 12.si et seulement sia cosa = 0.Or d’apres la question precedente, il existe a 0, 1 tel que cosa = a.6
