DS3 2023 2024 Correction
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Page 1 : Préing 2 : Examen Final d’Analyse dans RnL’usage d’appareil électronique est interdit.Date : Mercredi 24 Janvier 2024Aucun document n’est autorisé.Durée : 2hLe barème est donné à titre indicatif.Nombre de pages : 1 page recto-versoExercice 1 : Système d’EDPs d’ordre 1 4 pointsSoit le système :fx = y expxy + y2 y + 2x sinxy + x2fy = 2y + x + 2y expxy + y2 x sinxy + x21. Préciser, en justifiant, sur quel domaine ce système est résolvable.2. Résoudre ce système.1. Posonsgx, y = y expxy + y2 y + 2x sinxy + x2hx, y = 2y + x + 2y expxy + y2 x sinxy + x2Le système d’EDPs peut être résolu sur un domaine sur lequel g et h sont C1. Or g et hsont clairement C1 sur R2 comme somme, produit et composition de fonction C1 sur R2. Eneffet, expX et sinX sont C1 sur R tandis que xy + y2 et xy + x2 sont C1 sur R2 commepolynome, d’où l’on déduit que sinxy + x2 et expxy + y2 sont C1 sur R2. De plus y ety + 2x sont trivialement C1 sur R2. Ainsi g est C1 sur R2 comme somme et produit desfonctions C1 précédente. Il en va de même de h.0.5 point2.Etape 1 : Vérifions que gy = hx : 0.5 pointgy = expxy + y2 + y2y + x expxy + y2 sinxy + x2 y + 2xx cosxy + x2hx = expxy + y2 + yx + 2y expxy + y2 sinxy + x2 x2x + yx cosxy + x2Etape 2 : Intégrons l’une des deux EDPs : 1 pointSoitfx = y expxy + y2 y + 2x sinxy + x2alorsfx, y = expxy + y2 + cosxy + x2 + Kyoù K est C2 sur R car y R.1
Page 2 : Etape 3 : On dérive f par l’autre variable :Soitfx, y = expxy + y2 + cosxy + x2 + Kyalorsfy = 2y + x expxy + y2 x sinxy + x2 + Ky= 2y + x + 2y expxy + y2 x sinxy + x2d’où l’on déduit queKy = 2y1 pointEtape 4 : On résoud l’équa diffprécédente 0.5 pointLa solution de Ky = 2y s’écritKy = y2 + Cavec C R.Etape 5 : Solution : 0.5 pointfx, y = expxy + y2 + cosxy + x2 + y2 + Cavec C R.Exercice 2 : EDP d’ordre 1 4.5 pointsSoit D = x, y R2 / y ̸= ±x, x ̸= 0 et ϕ le changement de variables de D défini parϕx, y = u, v =x + yx; x y1. Montrer que ϕ est un C1-difféomorphisme entre D et V , en précisant V .2. Déterminer f de classe C1 sur D qui vérifie l’équation suivante :x, y D, xfx + yfy = expx + y1. Montrons que ϕ est un C1-difféomorphisme de D dans V . Pour cela commençons par écrireproprement le changement de variablesϕ:D→V = R\0; 2 × R\0; 2x, y7→u, v = ϕx, y = x+yx; x ya ϕ est C1 sur D si et seulement si u et v sont C1 sur D. Or ux, y = x + y/x est C1 surD comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annulle jamais sur D. De plusvx, y = x y est trivialement C1 sur D. 0.5 point.2
Page 3 : b Nous allons maintenant montrer que ϕ réalise bien une bijection de D dans V .u = x+yxv = x y⇐⇒x̸=0x + y = uxv = x y⇐⇒y = u 1xv = x y⇐⇒y = u 1xv = x ux + x⇐⇒y = u 1xv = 2 ux⇐⇒u̸=2y = u1v2ux =v2u0.5 pointAinsi ϕ réalise bien une bijection de D dans V et de plusϕ1:V→Du, v7→x, y = ϕ1u, v =v2u ;u1v2uc ϕ1 est C1 sur V si et seulement si les applications composantes x et y sont C1 sur V . Orces deux applications sont C1 sur V comme fraction rationnelle dont le dénominateur nes’annule jamais sur V . 0.5 point2. Passons maintenant à la résolution de l’EDP.Introduisons la nouvelle fonction g qui dépend des variables u et v en posantf = g ◦ϕ ⇐⇒fx, y = gϕx, y= gx + yx, x y0.5 pointCalculons maintenant les dérivées partielles de f en fonction de celles de gfx = guux + gvvx = yx2gu + gv0.5 pointfy = guuy + gvvy = 1xgu gv0.5 pointInjectons maintenant ces expressions dans l’EDPexpx + y = xfx + yfy = yxgu + xgv + yxgu ygv = x ygvon obtient doncx ygv = expx + yor v = x y et x + y = uv/2 u, doncvgv = exp uv2 u⇐⇒v̸=0gv = 1v exp uv2 u0.5 pointNotons alorsHu, v = Ku +Z 1v exp uv2 udv0.5 pointoù K est C1 sur R\0; 2.Finalementfx, y = gx + yy, x y= Hx + yx, x y+ Kx + yx0.5 point3
Page 4 : Exercice 3 : Résolution d’une EDP d’ordre 2 8 pointsSoit ϕ le changement polaire dans A = R+ × R. Soit f une application de classe C2 sur A, et gl’application définie sur ϕ1A par gr, θ = f ◦ϕr, θ = fx, y.1. Rappeler l’expression de ϕ1x, y et l’ensemble B = ϕ1A.2. Calculer l’expression de gr, gθ, 2gr2 , 2gθ2 et2grθ en fonction de celles de f et uniquement desvariables x et y.3. Déterminer f de classe C2 sur A qui vérifie l’équationx, y A, xy2fy2 2fx2+ x2 y2 2fxy = yfx xfy + x2 + y2 cospx2 + y21. 0.5 pointϕ1:A→Bx, y7→r, θ = ϕ1x, y =px2 + y2 ; Arctan yx2. Pour rappel :x = r cosθy = r sinθCalcul des dérivées partielles de g :g/r : 0.5 pointgr = fxxr + fvvr = cosθfx + sinθfy=xpx2 + y2fx +ypx2 + y2fyg/θ : 0.5 pointgθ = fxxθ + fvvθ = r sinθfx + r cosθfy= yfx + xfy2g/r2 : 1 point2gr2 = rcosθfx + sinθfy= cosθ rfx+ sinθ rfy= cosθhcosθ x + sinθ yi fx+ sinθhcosθ x + sinθ yi fy= cos2θ2fx2 + 2 cosθ sinθ 2fxy + sin2θ2fy2=x2x2 + y22fx2 +2xyx2 + y22fxy +y2x2 + y22fy24
Page 5 : 2g/θ2 : 1 point2gθ2 = θr sinθfx + r cosθfy= r cosθfx r sinθ θfxr sinθfy + r cosθ θfy= r cosθfx + r2 sin2θ2fx2 2r2 sinθ cosθ 2fxy r sinθfy + r2 cos2θ2fy2= xfx + y2 2fx2 2xy 2fxy yfy + x2 2fy22g/rθ : 1 point2grθ = rgθ= r"r sinθfx + r cosθfy= sinθfx r sinθ rfx+ cosθfy + r cosθ rfy= sinθfx r sinθ cosθ2fx2 r sin2θ 2fxy+ cosθfy + r cos2θ 2fxy + r cosθ sinθ2fy2= ypx2 + y2fx xypx2 + y22fx2 +x2 y2px2 + y22fxy +xpx2 + y2fy +xypx2 + y22fy23. Prenons la dernière expression est multiplions-la parpx2 + y2 possible car ̸= 0. On obtientalorspx2 + y2 2grθ = xy2fy2 2fx2+ x2 y2 2fxy + xfy yfxOr, à droite, on reconnait une partie de l’EDP proposée. On a ainsipx2 + y2 2grθ = xy2fy2 2fx2+ x2 y2 2fxy + xfy yfx = x2 + y2 cospx2 + y2on déduit donc quepx2 + y2 2grθ = x2 + y2 cospx2 + y2ce qui conduit à2grθ =px2 + y2 cospx2 + y2 = r cosr5
Page 6 : Finalement, on a2grθ = r cosr2 pointsqui a pour solutiongr, θ =hcosr + r sinri× θ + C1 pointavec C R.Finalementfx, y = gpx2 + y2, Arctany/x=hcospx2 + y2 +px2 + y2 sinpx2 + y2i× Arctany/x + C0.5 pointExercice 4 : Classe C2 8.5 pointsSoit la fonction f définie parfx, y = x3y3x2+y2si x, y ̸= 0, 00sinon1. Montrer que la fonction f est de classe C2 sur R2.2. Calculer le gradient et la matrice Hessienne de f.1.Sur R2\0, 0 : 0.5 pointl’application f est C1 sur R2\0, 0 comme fraction rationnelle dont le dénominateur nes’annule jamais.On doit maintenant calculer les dérivées partielles premières et secondes sur R2 et véri-fier qu’elles sont bien continues.Dérivées partielles premières :fxx,y̸=0,0= 3x2y3x2 + y2 2x4y3x2 + y22= 3x4y3 + 3x2y5 2x4y3x2 + y22= x4y3 + 3x2y5x2 + y22= x2y3x2 + 3y2x2 + y220.5 pointComme la fonction f est symétrique par permutation des x et des y, on sait que l’on peutobtenir fyx,y̸=0,0 en changeant tous les x en y et tous les y en xfyx,y̸=0,0= 3y2x3x2 + y2 2y4x3x2 + y22= y2x3y2 + 3x2x2 + y220.5 point6
Page 7 : fx0,0= limt→0ft, 0 f0, 0t= limt→00 0t= 00.5 pointfy0,0= limt→0f0, t f0, 0t= limt→00 0t= 00.5 pointnous n’allons pas étudier la continuité de ces dérivées partielles en 0, 0 car d’après l’énoncéla fonction est C2 en 0, 0 ce qui implique bien la continuité des dérivées partielles premières.Dérivées partielles secondes :2fx2x,y̸=0,0= 4x3y3 + 6xy5x2 + y22 4xx2 + y2x4y3 + 3x2y5x2 + y24= 4x3y3 + 6xy5x2 + y2 4xx4y3 + 3x2y5x2 + y23= 6xy7 2x3y5x2 + y230.5 pointMême si on peut encore une fois obtenir 2fy2x,y̸=0,0 par simple symétrie, je pense que laplupart des élèves feront le calcul explicite2fy2x,y̸=0,0= 6x5y + 4x3y3x2 + y22 4yx2 + y23x5y2 + x3y4x2 + y24= 6x5y + 4x3y3x2 + y2 4y3x5y2 + x3y4x2 + y23= 6yx7 2y3x5x2 + y230.5 point2fyxx,y̸=0,0=2fxyx,y̸=0,0= x2y214x2y2 + 3x4 + 3y4x2 + y230.5 pointCalcul des dérivées secondes en 0, 0 :2fx20,0= xfx0,0= limt→01t"fxt,0fx0,0= 00.5 point7
Page 8 : 2fy20,0= yfy0,0= limt→01t"fy0,tfy0,0= 00.5 point2fxy0,0= xfy0,0= limt→01t"fyt,0fy0,0= 00.5 point2fyx0,0= yfx0,0= limt→01t"fx0,tfx0,0= 00.5 pointIl ne reste plus qu’à vérifier que les 3 applications sont bien continues en 0, 0 c’est-à-direque les applications dérivées secondes pour x, y ̸= 0, 0 tendent bien vers 0. Pour cela, onpeut passer en coordonnées polaires en posant x = ρ cosθ et y = ρ sinθ.2fx2x,y̸=0,0= ρ2h6 cosθ sin7θ 2 cos3θ sin5θi→ρ→0 0 = 2fx20,00.5 pointdonc 2fx2 est continue sur R2.2fy2x,y̸=0,0= ρ2h6 sinθ cos7θ 2 sin3θ cos5θi→ρ→0 0 = 2fy20,00.5 pointdonc 2fy2 est continue sur R2.2fxyx,y̸=0,0= ρ2hcos2θ sin2θ14 cos2θ sin2θ + 3 cos4θ + 3 sin4θi→ρ→0 0 =2fxy0,00.5 pointdonc2fxy est continue sur R2.Finalement f est bien C2 sur R2.2. C2 est une condition suffisante mais non nécessaire d’existence du gradient et de la matriceHessienne. On peut donc calculer ces deux objets sur R2.Pour le gradient : 0.5 pointx, y ̸= 0, 0, ⃗fx, y =fxx,y̸=0,0fyx,y̸=0,0tandis que⃗f0, 0 =008
Page 9 : Pour la matrice Hessienne : 0.5 pointx, y ̸= 0, 0, Hfx, y =2fx2x,y̸=0,02fxyx,y̸=0,02fxyx,y̸=0,02fy2x,y̸=0,0Tandis queHf0, 0 =00009
