DS3 2023 2024 Rattrapage
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Page 1 : 2023/2024Semestre 1 – PréIng 21er FévrierSériesRattrapage Surveillé◁Consignes ▷Durée : 120 mn▶Inscrivez votre nom, prénom, numéro de groupe et nombre de pages sur votre copie.▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L’épreuve est composée d’exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.▶La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans la notation.◁Sujet de l’épreuve ▷Exercice 14ptsOn considère la suite d’applications fnn1 définies par fn : 0, 1 →R.x 7→xn ln xa. Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite d’applications fnn1 sur 0, 1.b. Étudier la convergence simple puis uniforme de la suite d’applications f ′nn1 sur 0, 1.Exercice 210ptsSoit α un nombre réel. Pour tout entier naturel n non nul, on définitfn : x 7→x31 + nαx41. Montrer que la série d’applicationsXn1fn converge simplement sur R si et seulement si α 1.Pour tout α 1, on notera Sα la somme de cette série .2.a Montrer qu’il existe α0 1 tel queXn1fn converge normalement sur R si et seulement si α α0.b Montrer que si α α0 alors Sα est continue sur R.3.a Étudier la convergence normale deXn1fn sur Da = , a a, + pour tout a 0.b Déterminer tous les α pour lesquels Sα est continue sur R.4. Dans cette question, on suppose que α 0. Pour tout entier naturel n non nul, on note gn = 1nfn.a Montrer queXn1gn converge simplement sur R.b Montrer queXn1gn converge uniformément sur R.1
Page 2 : Exercice 35ptsOn considère la suite d’applications fnn0 définies parfn : x 7→sinnx2n1. Montrer que la série d’applicationsXnNfn converge normalement sur R.2. Montrer que S =+Xn=0fn est de classe C1 sur R.3. Calculer explicitement Sx pour tout réel x.Indication: On pourra passer par les nombres complexes.Exercice 44ptsDéterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:1.Xn1n!22np2n!xn2.Xn1e1n 1xn3.Xn11n1 × 3 × · · · × 2n 1zn2
