DS3 2023 2024
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Page 1 : 2023/2024Semestre 2 – PréIng 2Lundi 3 JuinAlgèbre Linéaire et BilinéaireExamen◁Consignes ▷Durée : 120 mn▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L’épreuve est composée d’exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.▶La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans la notation.◁Sujet de l’épreuve ▷Exercice 1Système différentiel linéaire 5ptsOn considère le système différentiel linéaire suivant :x′1t = 2x2t 3etx′2t = 2x1t + 4x2t + 2et1. Écrire ce système sous la forme matricielle : X′t = AXt + Bt.2. Trigonaliser la matrice A.3. Résoudre le système différentiel.4. Déterminer l’unique solution Xt qui vérifie la condition initiale : X0 =148.Exercice 2Espace Préhilbertien Réel 8ptsOn considère l’application φ : R3 × R3 →R donnée parϕx, y = 3x1y1 + x1y3 + 2x2y2 + x3y1 + 3x3y3où x = x1, x2, x3 R3 et y = y1, y2, y3 R3.1. Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique sur R3.2. Donner la matrice de ϕ dans la base canonique de R3.3. Montrer que x = x1, x2, x3 R3ϕx, x =3x1 + x332+ 2x22 + 83x23.4. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur R3.5. On considère les vecteurs u = 1, 1, 0, v = 1, 1, 1 et w = 1, 4, 5.Montrer que B′ = u, v, w est une base de R3.6. La base B′ est-elle orthogonale pour le produit scalaire ϕ ? Orthonormale ?7. Donner la matrice de ϕ dans la base B′.1
Page 2 : Exercice 3Espace Préhilbertien Réel 7ptsOn considère l’espace vectoriel R2X muni du produit scalaire suivantP, Q R2X⟨P, Q⟩=Z 11PxQx dx.On note · la norme associée à ce produit scalaire.1. Vérifier que ⟨·, ·⟩est effectivement un produit scalaire sur R2X.2. Calculer 1et en déduire le vecteur P1 =113. Calculer Q2 = X ⟨X, P1⟩P1 et montrer que Q2 P1 pour le produit scalaire ⟨·, ·⟩.4. Calculer P2 =Q2Q2.5. Déterminer un vecteur P3 tel que la famille P1, P2, P3 forme une base orthonormée de R2X pour leproduit scalaire ⟨·, ·⟩.2
