DS3 2023 2024
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Page 1 : Preing 1Examen Algebre 2Matiere : Algebre IIDate : Lundi 3 juin 2024L’usage de tout appareil electronique est interdit.Duree : 2hLe bareme est donne a titre indicatifNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.Le sujet comporte 3 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.L’ennonce sera rendu dans la copie.♣♣♣Exercice 1. 8,5 points Soit f1 l’application definie par :f1 :R4→Rx, y, z, t7→x y + 2t.1. Montrer que f1 est une application lineaire.Soit f l’application definie par :f :R4→R3x, y, z, t7→x y + 2t , x + y + 2z , y + z t .On admet par la suite que f est une application lineaire.2.a Determiner une base du noyau de f.b Determiner les dimensions du noyau et de l’image de f.c L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ?d Determiner une base de l’image de f.3.a Completer la base trouvee en 2a en une base de R4.b En deduire un supplementaire du noyau.4. Soit F = x, y, z R3 x = y 2z. Montrer que Imf = F.Exercice 2. 9,5 points Soit B = e1, e2, e3 la base canonique de R3. Soit f une applicationlineaire dont la matrice dans la base canonique est :A =122212223.Soient a = 111, b = 011et c = 112trois vecteurs de R3.1. Donner la formule analytique de f.2. Soit F = u R3 fu = u. Montrer que F = Vecta.3. Montrer que B′ = a, b, c est une base de R3.1
Page 2 : 4. Determiner la matrice de passage P de B la base canonique a B′, et calculer P 1.5. Calculer la matrice D representative de f dans la base B′.6. Par recurrence, montrer que pour tout n N:Dn =10001n0001n.7. Calculer An pour tout entier naturel n 1.Exercice 3. 4 points1.a Calculer le determinant de la matrice :A =111211120.b En deduire si les vecteurs u1 = 121, u2 = 112et u3 = 110forment une base deR3 ou non.2. Soit m R un parametre. On considere la matrice :Am =11m2m1m20.a A l’aide d’operations elementaires sur les lignes et/ou les colonnes, calculer detAmsous la forme d’un polynˆome en m factorise.b En deduire l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles la matrice Am est inversible.2
