DS3 2023 2024
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Page 1 : Préing 2 : Examen Final d’Analyse dans RnL’usage d’appareil électronique est interdit.Date : Mercredi 24 Janvier 2024Aucun document n’est autorisé.Durée : 2hLe barème est donné à titre indicatif.Nombre de pages : 1 page recto-versoExercice 1 : Système d’EDPs d’ordre 1Soit le système :fx = y expxy + y2 y + 2x sinxy + x2fy = 2y + x + 2y expxy + y2 x sinxy + x21. Préciser, en justifiant, sur quel domaine ce système est résolvable.2. Résoudre ce système.Exercice 2 : EDP d’ordre 1Soit D = x, y R2 / y ̸= ±x, x ̸= 0 et ϕ le changement de variables de D défini parϕx, y = u, v =x + yx; x y1. Montrer que ϕ est un C1-difféomorphisme entre D et V , en précisant V .2. Déterminer f de classe C1 sur D qui vérifie l’équation suivante :x, y D, xfx + yfy = expx + yExercice 3 : Résolution d’une EDP d’ordre 2Soit ϕ le changement polaire dans A = R+ × R. Soit f une application de classe C2 sur A, et gl’application définie sur ϕ1A par gr, θ = f ◦ϕr, θ = fx, y.1. Rappeler l’expression de ϕ1x, y et l’ensemble B = ϕ1A.2. Calculer l’expression de gr, gθ, 2gr2 , 2gθ2 et2grθ en fonction de celles de f et uniquement desvariables c et y.3. Déterminer f de classe C2 sur A qui vérifie l’équationx, y A, xy2fy2 2fx2+ x2 y2 2fxy = yfx xfy + x2 + y2 cospx2 + y21
Page 2 : Exercice 4 : Classe C2Soit la fonction f définie parfx, y = x3y3x2+y2si x, y ̸= 0, 00sinon1. Montrer que la fonction f est de classe C2 sur R2.2. Calculer le gradient et la matrice Hessienne de f.2
