DS3 2023 2024
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Page 1 : Preing 1Examen analyse 2Matiere : Mathematiques - analyse 2Date : Mardi 4 juin 2024L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 2hNombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1 :On considere la fonction fx =1xx+11. Determiner deux reels a et b tels que, pour tout x 1, 2, on a :fx = ax +bx + 12. Deduire la valeur de l’integrale : I =R 211xx+1dx.3. Calculer l’integrale J =R 21ln1+xx2dx.Exercice 2 :1. A l’aide d’un changement de variable, calculer les integrales suivantes :aR 10dxx+x3bR π0sin x1+cos2 xdx2. Decomposer les fractions rationnelles, puis calculer ses primitives suivantes :ax3 + 2x 12b5x22x+3x2+1x1Exercice 3 : Resoudre les equations differentielles suivantes :1. y′ + 2y = 2x + 3.2. 2xy′ y = x sur x 0; +.1
Page 2 : Exercice 4 : Resoudre les problemes de Cauchy suivants :1. y′ + 2y = 4, y1 = 3.2. x2 + 1y′ + 2xy = 3x2 + 1, y0 = 3.Exercice 5 :1. CalculerZ 1011 + x2 dx2. En deduirelimn→nXk=1nn + k22
