DS3 2023 2024 Correction
Exercice 2
1.
On utilise la formule des probabilités totales. \(\left\lbrack B_{1},B_{2},B_{3} \right\rbrack\)
\[\mathbb{P}(D)\mathbb{= P}\left( D \cap B_{1} \right)\mathbb{+ P}\left( D \cap B_{2} \right)\mathbb{+ P}\left( D \cap B_{3} \right)\] \[\mathbb{P}(D)\mathbb{= P}\left( B_{1} \right)\mathbb{\times P}\left( D \middle\vert B_{1} \right)\mathbb{+ P}\left( B_{2} \right)\mathbb{\times P}\left( D \middle\vert B_{2} \right)\mathbb{+ P}\left( B_{3} \right)\mathbb{\times P}\left( D \middle\vert B_{3} \right)\] \[\mathbb{P}(D) = 0.15 \times 0.02 + 0.8 \times 0.01 + 0.05 \times 0.03\] \[\mathbb{P}(D) = 0.003 + 0.008 + 0.0015 = 0.0125 = \frac{1}{80}\]2.
\[\mathbb{P}\left( \overline{D} \right) = 1 - \mathbb{P}(D) = \frac{79}{80}\]Le nombre de microprocesseurs reçus non défectueux est de \(2000 \times \mathbb{P}\left( \overline{D} \right) = 1975\)
3.
On cherche \(\mathbb{P}\left( B_{3} \middle\vert D \right)\)
D’après la formule de Bayes,
\[\mathbb{P}\left( B_{3} \middle\vert D \right) = \frac{\mathbb{P}\left( D \middle\vert B_{3} \right)\mathbb{P}\left( B_{3} \right)}{\mathbb{P}(D)} = 80 \times \frac{3}{100} \times \frac{1}{20} = \frac{12}{100} = \frac{3}{25} = 0.12\]La probabilité qu’un microprocesseur provienne du fournisseur 3 sachant qu’il est défectueux est de \(0.12\)
4.
On cherche \(\mathbb{P}\left( D \cap B_{3} \right)\mathbb{= P}\left( D \middle\vert B_{3} \right)\mathbb{P}\left( B_{3} \right) = 0.03 \times 0.05 = 0.0015 = \frac{15}{10000} = \frac{3}{2000}\)
Le nombre de microprocesseurs défectueux provenant du fournisseur 3 est de \(2000 \times \frac{3}{2000} = 3\)
5.
On cherche
\(\mathbb{P}\left( \overline{B_{3}} \middle\vert \overline{D} \right)\mathbb{= P}\left( B_{1} \middle\vert \overline{D} \right)\mathbb{+ P}\left( B_{2} \middle\vert \overline{D} \right)\) \(= \frac{\mathbb{P}\left( \overline{D} \middle\vert B_{1} \right)\mathbb{P}\left( B_{1} \right)\mathbb{+ P}\left( \overline{D} \middle\vert B_{2} \right)\mathbb{P}\left( B_{2} \right)}{\mathbb{P}\left( \overline{D} \right)}\) \(= \frac{\left( 1 - \mathbb{P}\left( D \middle\vert B_{1} \right) \right)\mathbb{P}\left( B_{1} \right) + \left( 1 - \mathbb{P}\left( D \middle\vert B_{2} \right) \right)\mathbb{P}\left( B_{2} \right)}{1 - \mathbb{P}(D)}\) \(= (0.98 \times 0.15 + 0.99 \times 0.8) \times \frac{80}{79}\) \(= (0.147 + 0.792) \times \frac{80}{79} = 0.939 \times \frac{80}{79}\) \(= \frac{939}{1000} \times \frac{80}{79}\) \(= \frac{939 \times 8}{79 \times 100}\) \(= \frac{939 \times 2}{79 \times 25} = \frac{1878}{1975}\)
\(\mathbb{P}\left( \overline{B_{3}} \middle\vert \overline{D} \right)\) \(= 1 - \mathbb{P}\left( B_{3} \middle\vert \overline{D} \right)\) \(= 1 - \frac{\mathbb{P}\left( \overline{D} \middle\vert B_{3} \right)\mathbb{P}\left( B_{3}\right)}{\mathbb{P}\left( \overline{D} \right)}\) \(= 1 - \frac{\left( 1 - \mathbb{P}\left( D \middle\vert B_{3} \right) \right)\mathbb{P}\left( B_{3} \right)}{\mathbb{P}\left( \overline{D} \right)}\) \(= 1 - 0.97 \times 0.05 \times \frac{80}{79}\) \(= 1 - \frac{97 \times 5 \times 80}{10000 \times 79} = 1 - \frac{97 \times 80}{2000 \times 79}\) \(= 1 - \frac{97 \times 8}{200 \times 79}\) \(= 1 - \frac{97 \times 2}{50 \times 79} = 1 - \frac{97}{25 \times 79} = 1 - \frac{97}{1975} = \frac{1878}{1975}\)
Exercice 3 :
1.
Pour que \(\left( k,\ P_{X}(k) \right)_{k \in \left. ⟦ - 4,4 \right.⟧}\) soit la loi de probabilité de \(X\), on doit avoir \(\sum_{k \in \left. ⟦ - 4,4 \right.⟧}^{}{P_{X}(k)} = 1\)
\[\Leftrightarrow 0.1 + 0.15 + 0.2 + 0.05 + 0.1 + 0.15 + 0.05 + 0.1 + \beta = 1\] \[\Leftrightarrow 0.9 + \beta = 1\] \[\Leftrightarrow \beta = 0.1\]2.
Soit \(F\mathbb{:R \rightarrow}\lbrack 0,1\rbrack\) la fonction de répartition de \(X\).
\[\forall x\mathbb{\in R,\ }F(x)\mathbb{= P}(X \leq x)\] \[\Leftrightarrow F(x) = \left\lbrack \begin{array}{r} 0\ \text{si}\ x < - 4 \\ 0.1\ \text{si}\ x \in \left\lbrack - 4, - 3 \right\lbrack \\ 0.25\ \text{si}\ x \in \left\lbrack - 3, - 2 \right\lbrack \\ 0.45\ \text{si}\ x \in \left\lbrack - 2, - 1 \right\lbrack \\ 0.5\ \text{si}\ x \in \left\lbrack - 1,0 \right\lbrack \\ 0.6\ \text{si}\ x \in \left\lbrack 0,1 \right\lbrack \\ 0.75\ \text{si}\ x \in \left\lbrack 1,2 \right\lbrack \\ 0.8\ \text{si}\ x \in \left\lbrack 2,3 \right\lbrack \\ 0.9\ \text{si}\ x \in \left\lbrack 3,4 \right\lbrack \\ 1\ \text{si}\ x \geq 4 \end{array} \right.\]3.
\(\mathbb{E}(X) = \sum_{k \in \left. ⟦ - 4,4 \right.⟧}^{}{k\mathbb{P}(X = k)}\) \(= - 4 \times 0.1 - 3 \times 0.15 - 2 \times 0.2 - 1 \times 0.05 + 1 \times 0.15 + 2 \times 0.05 + 3 \times 0.1 + 4 \times 0.1\) \(= - 0.4 - 0.45 - 0.4 - 0.05 + 0.15 + 0.1 + 0.3 + 0.4\) \(= - 0.35\)
D’après la formule de Koenig-Huygens,
\[\mathbb{V}(X)\mathbb{= E}\left( X^{2} \right)\mathbb{- E}(X)^{2}\]\(\mathbb{E}\left( X^{2} \right) = \sum_{k \in \left. ⟦ - 4,4 \right.⟧}^{}{k^{2}\mathbb{P}(X = k)}\) \(= 16 \times 0.1 + 9 \times 0.15 + 4 \times 0.2 + 1 \times 0.05 + 1 \times 0.15 + 4 \times 0.05 + 9 \times 0.1 + 16 \times 0.1\) \(= 1.6 + 1.35 + 0.8 + 0.05 + 0.15 + 0.2 + 0.9 + 1.6 = 6.65\)
\[\mathbb{E}(X)^{2} = {0.35}^{2} = 0.1225\] \[\mathbb{V}(X)\mathbb{= E}\left( X^{2} \right)\mathbb{- E}(X)^{2} = 6.5275\] \[\mathbb{P}( - 1 \leq X < 4.5) = \sum_{k \in \left. ⟦ - 1,4 \right.⟧}^{}{\mathbb{P}(X = k)} = 0.05 + 0.1 + 0.15 + 0.05 + 0.1 + 0.1 = 0.55\] \[\mathbb{P}( - 1 \leq X < 4.5) = 0.55\]4.
| \(k\) | \(1\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) | \(17\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{P}_{Z}(k)\) | \(0.1\) | \(0.2\) | \(0.25\) | \(0.25\) | \(0.2\) |
5.
\(\mathbb{E}(Z) = \sum_{k \in \left\lbrack 1,2,5,10,17 \right\rbrack }^{}{k\mathbb{P}(Z = k)}\) \(= 1 \times 0.1 + 2 \times 0.2 + 5 \times 0.25 + 10 \times 0.25 + 17 \times 0.2\) \(= 0.1 + 0.4 + 1.25 + 2.5 + 3.4 = 7.65\)
\[\text{Ou :}\mathbb{\ E}(Z)\mathbb{= E}\left( X^{2} + 1 \right)\mathbb{= E}\left( X^{2} \right)\mathbb{+ E}(1) = 6.65 + 1 = 7.65\]Exercice 4 :
On note \(A\) la probabilité que pour tous les lancers, la somme des dés est paire.
\[\forall i,j \in \mathbb{N}^{*},\ i \neq j,\ A_{i}\ \text{et}\ A_{j}\ \text{sont incompatibles}\]Pour chaque lancer, la probabilité d’obtenir une somme paire de dés sauf \((4,6),(5,5),(6,4)\) est de \(\frac{15}{36} = \frac{5}{12}\).
\[\forall k \in \mathbb{N}^{*}\mathbb{,\ P}\left( A_{k} \right) = \frac{3}{36} \times \left( \frac{15}{36} \right)^{k - 1}\] \[A = \bigcup_{k = 1}^{+ \infty}A_{k}\]\(\mathbb{P}(A) = \sum_{k = 1}^{+ \infty}{\left( \frac{3}{36} \right)\left( \frac{5}{12} \right)^{k - 1}}\) \(= \frac{3}{36}\sum_{k = 1}^{+ \infty}\left( \frac{5}{12} \right)^{k - 1}\) \(= \frac{3}{36}\sum_{k = 0}^{+ \infty}\left( \frac{5}{12} \right)^{k} = \frac{3}{36} \times \frac{12}{7} = \frac{1}{7}\)
\[\mathbb{P}(A) = \frac{1}{7}\]