DS3 2023 2024
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Page 1 : Preing 2Devoir Surveille 3Matiere : Integrations et probabilitesDate : mardi 4 juin 2024Le bareme est donne a titre indicatif.Duree : 2hNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.L’usage de tout appareil electronique est interdit. Aucun document n’est autorise.Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1 : Soit Ωun domain borne de R2 defini parΩ=nx, y R2/π4 x 5π4,cosx y sinxo,et Ωle bord de Ω.1.Partie I : Soit ω = y sinx dx + x + y dy une forme differentielle sur Ω.a Est-ce que ω est fermee, exacte sur Ω? justifierb Representer graphiquement l’ensemble Ω.c Donner une representation parametrique de Ω.d Calculer I =ZΩωi. Par calcul direct.ii. Par le theoreme de Green - Riemann2.Partie II : En utilisant le theoreme de Green - Riemann, calculer l’integrale doublesuivante :J =ZZΩ1 2y dx dyExercice 2 : Un fabricant de materiel de telemetrie achete des microprocesseurs de trois four-nisseurs. Ces derniers respectent les mˆemes normes de produit. Neanmoins, pendant des annees, lefabricant a verifie chaque lot re¸cu, ce qui lui a permis de reunir les donnees ci-dessous.fournisseurpart fourniepart defectueuse10,150,0220,80,0130.050,031
Page 2 : Le fabricant a cesse toute verification en raison des coˆuts. On suppose que les parts defectueuses etles parts fournies demeurent inchangees. Le directeur de la production recoit 2000 microprocesseurset il choisit un microprocesseur au hasard.1. Quelle est la probabilite que le microprocesseur soit defectueux ? Notons cet evenement D,et notons Bi l’evenement le microprocesseur vient du fournisseur i . On utilise un schemaen arbre pour illustrer la situation.2. Calculer la quantite des microprocesseurs re¸cus non-defectueux.3. Le directeur envoie le microprocesseur choisi au hasard au laboratoire d’essais, qui revele quel’unite est effectivement defectueuse. Quelle est la probabilite qu’elle provienne du troisiemefournisseur ?4. Calculer la quantite des microprocesseurs defectueux re¸cus venant de fournisseur 3.5. Le directeur choisit un autre microprocesseur au hasard et il l’envoie au laboratoire d’essais,qui revele que l’unite n’est pas defectueuse. Quelle est la probabilite qu’elle ne provienne pasdu troisieme fournisseur ?Exercice 3 : Soit Ω, PΩ, P un espace probabilise fini, β 0, 1 et X : Ω→4, 4 unevariable aleatoire. Soit le tableau suivantk-4-3-2-101234PXk0,10,150,20,050,10,150,050,1β1. Determiner β pour quek, PXkk4,4 soit la loi de probabilite de X.2. Determiner la fonction de repartition de X.3. Calculer EX et V X et P1 X 4, 5.4. Determiner la loi de probabilite de la variable aleatoire Z = X2 + 1.5. Calculer EZ.Exercice 4 : On considere deux des equilibres, chaque de numerote de 1 a 6. On realise l’experiencesuivante :On lance les deux des ensemble. Si le couple obtenu est 4, 6 ou 5, 5 ou 6, 4 on s’arrˆete, sinonon recommence jusqu’a l’obtention d’un de ces trois couples. On note n le nombre de lancersindependants necessaires pour s’arrˆeter et on note Sk la somme des deux faces obtenues au k-iemelancer.Quelle est la probabilite que pour tous les lancers effectues, les quantites Sk soient paires ?On pourra considerer An l’evenement les n 1 premiers lancers donnent des couplesde somme paire sauf 4, 6 et 5, 5 et 6, 4, et le n-ieme lancer donne 4, 6 ou 5, 5 ou6, 4 .2
