DS3 2023 2024
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Page 1 : 2023/2024Semestre 1 PréIng 2Lundi 22 JanvierSériesExamen◁Consignes ▷Durée : 120 mn▶Inscrivez votre nom, prénom, numéro de groupe et nombre de pages sur votre copie.▶Les documents et les supports électroniques sont interdits.▶L'épreuve est composée d'exercices indépendants.▶Le barème est à titre indicatif.▶La qualité de la rédaction et la rigueur des justications seront prises en compte dans la notation.◁Sujet de l'épreuve ▷Exercice 18pts1.a Énoncé le Théorème Spécial des Séries Alternées.b Déterminer la nature de la série numériqueXnN1nn + 1 n.2.a Donner la dénition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions.b Étudier les convergences simples et uniforme de la suite de fonctions fn : x →xn 1xn + 1 sur R+.3.a Donner la dénition de la convergence normale d'une série de fonctions.b Étudier les convergences de la série de fonctionsXn1fn avec fn : x →1n2 + x2 sur RExercice 24ptsOn considère la série entièreXn1xnnn + 2.1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.2. On xe x = 1, justier que la série numériqueXn11nn + 2 converge.3. Toujours pour x = 1 xé, calculer la somme de la série.1
Page 2 : Exercice 310ptsOn considère la fonction S : x →sinxex 1 dénie sur R+. L'objectif de cet exercice est de montrer queZ +0Sx dx =+Xn=11n2 + 1.Pour ce faire, on va étudier la série de fonctionsXnNfn avec fn : x →en+1x sinx.1. Montrer queXnNfn converge simplement sur R+.2. Pour n 1 et x 0 xés calculernXk=0fkx et en déduire que S est la limite simple deXnNfn sur R+.3. Soient A et B deux réels xés tels que 0 A B. Justier que S est continue sur A, B et queZ BASx dx =+Xn=0Z BAfnx dx.4. Soient αnnN et βnnN deux suites numériques réelles. Pour tout n 1 on dénit la fonctionFn : x →αn cosx + βn sinx en+1x.Montrer que pour tout x R+F ′nx =βn n + 1αncosx αn + n + 1βnsinxen+1x.5. Pour tout n N, déterminer αn et βn tels que F ′n = fn.6. En déduire la valeur deZ BAfnx dx.7. Justier que limA→0+Xn=0FnA =+Xn=0Fn0 etlimB→++Xn=0FnB =+Xn=0limB→+FnB8. Conclure.2
