DS3 2023 2024 EVAL MI 5
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Page 1 : Preing 1, MI5InterrogationMatiere : Algebre IIDate : jeudi 23 mai 2024L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 1h30Nombre de pages : 1Il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justifications.Le sujet comporte 4 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traites n’est pas impose.♣♣♣Exercice 1 Questions de cours. 3 pts1. Donner la definition d’une famille de vecteurs lineairement independants et d’une famille liee.2. Donner la formule de Grassmann.3. Donner la formule du theoreme de rang.Exercice 2. 5 pts Soit f EndR4 et A sa matrice dans la base canonique de R4, ouA =13512134511777911. Donner une base et dimension de Imf.2. En deduire dimension du noyau de f et determinant de A.Exercice 3. 7 pts Pour P R2X, on notefP = X2 1P” + 2X + 1P ′1. Montrer que f definit un endomorphisme de R2X.2. Donner la matrice A de f dans la base canonique B de R2X.3. Soit C = P1 = 1, P2 = 1 + 2X, P3 = 1 2X 4X2. Montrer que C est une base de R2X.4. Determiner la matrice D de f dans la base C.5. Montrer que Imf = VectP2, P36. Imf et Kerf sont-ils supplementaires dans R2X ? Justifier.Exercice 4. 5 pts SoitA =12m1m22121. Calculer determinant de A.2. Donner condition de m telle que A soit inversible.3. Soit m = 1, donner l’expression de A1.1
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