Fiche Lois Usuelles
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Page 1 : Lois de variables aléatoires réelles discrètesusuellesLudovic CesbronFrédéric Valet2024-20251Loi uniformeDe façon analogue à la probabilité uniforme, la loi uniforme est celle des v.a.r.discrète qui prennent leur différentes valeurs de manière équiprobable, pour quece soit possible il est nécessaire que XΩ soit fini.Définition 1.1Soient Ω, P un espace de probabilité et X une v.a.r. telle que XΩ = a1, a2, . . . , an.On dit que X suit une loi uniforme sur a1, a2, . . . , an sii J1, nK, PX = ai = 1n.On note X ,→Ua1,a2,...,an.Exemple 1.1Si X est la v.a.r. qui donne le résultat du lancer d’un dé équilibré alors on aX ,→UJ1,6K.Proposition 1.1Soient n Net X une v.a.r. discrète telle que X ,→UJ1,nK, alors• EX = n + 12, c’est la moyenne non-pondérée des valeurs de X.• VX = n2 112.Démonstration :• Pour l’espérance on aEX =nXi=1iPX = i =nXi=1i 1n = 1nnXi=1i.1
Page 2 : De plus, on reconnaît la somme d’une suite arithmétique de raison 1 quicommence à i = 1 doncnXi=1i = nn + 12. On obtientEX = 1nnn + 12= n + 12.• Pour la variance, on calcule d’abordEX2 =nXi=1i2PX = i = 1nnXi=1i2.La somme des carrés laissée en exercice vautnXi=1i2 = nn + 12n + 16donc on a EX2 = n + 12n + 16, on en déduitVX = EX2 EX2= n + 12n + 16n + 122= 2n + 12n + 1 3n + 1212= n2 112.2Loi de Bernouilli de paramètre p 0, 1On s’intéresse à une expérience qui n’a que deux issues possibles par exemple unpile ou face ou un tirage unique dans une urne avec seulement 2 types de boules.On appelle la première issue "le succès", et la seconde "l’échec". Le paramètre pde la loi de Bernouilli désigne la probabilité du succès. Par complémentarité laprobabilité de l’échec est donc 1 p.On introduit la variable aléatoire X : Ω→0, 1 définie par : X = 1 en cas desuccès, X = 0 en cas d’échec.Définition 2.1Soient Ω, P un espace de probabilité, p 0, 1 et X une v.a.r. discrète telleque XΩ = 0, 1.On dit que X suit une loi de Bernouilli de paramètre p, noté X ,→Bp,siPX = 1 = petPX = 0 = 1 p.Proposition 2.1Soient p 0, 1 et X ,→Bp. Alors• EX = p,• VX = p1 p.2
Page 3 : Démonstration :Les résultats s’obtiennent par calculs directs:• EX = 0 × 1 p + 1 × p = p.• VX = EX2 EX2 = 02 × 1 p + 12 × p p2 = p p2 = p1 p.3Loi Binomiale de paramètre n, pLes lois binomiales sont celles associées à la répétition, de manière indépendante,d’une expérience suivant une loi de Bernouilli. Par exemple, on peut faire unesérie de pile ou face, ou encore faire des tirages avec remise dans une urnecontenant 2 types de boules. Les paramètres d’une loi Binomiale sont donc :n le nombre de répétitions, et p le paramètre de la loi de Bernouilli que l’onrépète.On introduit une v.a.r. discrète X qui compte le nombre de succès parmi les nitérations. On a donc XΩ = J0, nK.Définition 3.1Soient Ω, P un espace de probabilité, p 0, 1, n N et X une v.a.r. discrètetelle que XΩ = J0, nK.On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n, p, notéX ,→Bn, p, sik J0, nK,PX = k =nkpk1 pnk.Cette formule peut s’interpréter de la façon suivante : pour avoir exactement ksuccès parmi les n lancers il faut avoir k réussites, d’où le pk, et n’avoir que deséchecs par ailleurs, donc n k échecs, d’où le 1 pnk. L’ordre des lancersn’a pas d’importance : on peut répartir ces succès comme on le souhaite parmiles n lancers et il y a exactementnkfaçons de répartir les k succès parmi les nlancers.Remarque 3.1Une loi de Bernouilli de paramètre p est en fait une loi Binomiale de paramètre1, p : Bp = B1, p, d’où l’utilisation de la même lettre B.Remarque 3.2La formule du binôme de Newton nous assure que l’on a bien défini une loi deprobabilité puisquenXk=0PX = k =nXk=0nkpk1 pnk = p + 1 pn = 1.Exemple 3.11. On lance une pièce équilibrée 15 fois. Quelle est la probabilité de faireexactement 4 fois pile ?3
Page 4 : 2. Une urne contient 12 boules blanches et 8 boules noires. On tire 10 fois,avec remise, une boule dans l’urne. Quelle est la probabilité de tirer 7 foisune boule blanche ?Proposition 3.1Soient p 0, 1, n N et X ,→Bn, p. Alors• EX = np,• VX = np1 pDémonstration :• Calcul de l’espérance :EX =nXk=0kPX = k =nXk=1knkpk1 pnk=nXk=1nn 1k 1pk1 pnk = nn1Xi=0n 1ipi+11 pni1= npn1Xi=0n 1ipi1 pn1i = npOn a utilisé ci-dessus la relation suivante sur les coefficients binomiauxknk= kn!k!n k! =n!k 1!n 1 k + 1!= nn 1!k 1!n 1 k 1! = nn 1k 1ainsi que le changement d’indice i = k 1 et on a reconnu un binôme deNewton cf Remarque 3.2 au rang n 1 à la dernière étape.• Calcul de EX2 : en décomposant k2 = k 1 + 1k = k 1k + k on aEX2 =nXk=0k2PX = k=nXk=2k 1knkpk1 pnk +nXk=1kPX = k.On reconnaît EX = np dans le second terme, pour le premier on utilise4
Page 5 : deux fois la relation précédente sur les coefficients binomiaux :nXk=2k 1nn 1k 1pk1 pnk = nnXk=2n 1n 2k 2pk1 pnk= nn 1n2Xj=0n 2jpj+21 pn2j= nn 1p2n2Xj=0n 2jpj1 pn2j= n2p2 np2en reconnaissant un binôme de Newton au rang n 2. On a doncEX2 =2 p2 np2 + npet on en déduit queVX = n2p2 np2 + np np2 = npp + 1 = np1 p.4Loi Géométrique de paramètre p 0, 1Comme les loi Binomiales, les lois Géométriques sont aussi associées à des répéti-tions indépendantes d’une expérience de Bernoulli. La différence est qu’unev.a.r. de loi Géométrique compte le rang du premier succès. Par exemple, sion reprend l’expérience du pile ou face où on nomme "succès" le pile et "échec"le face. Une v.a.r. X de loi géométrique compte combien il a fallu d’essaispour obtenir le premier pile. Le paramètre p de la loi Géométrique est celui del’expérience de Bernoulli sous-jacente.Définition 4.1Soient Ω, P un espace de probabilité, p 0, 1 et X une v.a.r. discrète telleque XΩ = N.On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p, noté X ,→Gp, sik N,PX = k = p1 pk1.Cette formule s’interprète de manière similaire à celle de la loi Binomiale. Pourque le premier succès ait lieu à la kième répétition de l’expérience événement"X = k" il faut avoir enchainé k1 échecs, d’où le 1pk1, et un succès, d’oùle p. On remarque que l’ordre des résultats importe pour la loi géométrique,pour que X = k il faut faire d’abord k 1 échecs puis un succès, il n’y a doncpas de coefficient binomial dans la formule de la loi géométrique.Remarque 4.1On exclut le cas p = 0 de la définition de la loi géométrique car dans ce cas onaurait PX = k = 0 pour tout k Net la propriété 2 de la définition d’une5
Page 6 : probabilité ne serait donc pas satisfaite.En revanche, pour tout p 0, 1 et n N, en reconnaissant la somme d’unesuite géométrique de raison 1 p on anXk=1PX = k =nXk=1p1 pk1 = p1 1 pn1 1 p = 1 1 pnet puisque 1 p 0, 1 on retrouve bien+Xk=1PX = k = 1.Exemple 4.11. On lance une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité qu’on obtienne pilepour la première fois lors du 5ème lancer ?2. Une urne contient 10 boules blanches et 3 boules noires. On effectue destirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité de tirer une boulenoire pour la première fois lors du 8ème tirage ?Proposition 4.1Soient p 0, 1 et X ,→Gp. Alors• EX = 1p,• VX = 1 pp2Démonstration :• On commence par remarquer qu’en dérivant la série entière géométriqueXk=0xk =11 x pour tout x 0, 1 on rappelle qu’une série entière CVNsur son disque ouvert de convergence donc on peut intervertir somme etdérivée, ici le rayon de convergence est R = 1 on obtientXk=1kxk1 =11 x2 .Calcul de l’espérance :EX =+Xk=1kPX = k =+Xk=1kp1 pk1 = p11 1 p2 = 1p.• Pour la variance, on commence par calculer EX2 et, en dérivant unedeuxième fois la série entière géométrique+Xk=2kk 1xk2 =21 x36
Page 7 : on rapelle qu’une série entière à le même rayon de convergence que toutesses séries dérivées. Ainsi, en décomposant k2 = kk 1 + k on aEX2 =+Xk=1k2PX = k=+Xk=1kk 1p1 pk1 ++Xk=1kp1 pk1= p1 p+Xk=1kk 11 pk2 + EX= p1 p21 1 p3 + 1p= 21 pp2+ 1p.On en déduitVX = EX2 EX2 = 21 pp2+ 1p 1p2 = 2 2p + p 1p2= 1 pp2.5Loi de Poisson de paramètre λ 0Les lois de Poisson interviennent lorsque l’on souhaite compter les occurrencesd’un "événement rare".Par exemple, si on souhaite compter le nombre de clients qui entrent dans unmagasin entre 16h et 17h, sachant qu’en moyenne un nouveau client arrive toutesles 10 minutes, la variable aléatoire X qui compte le nombre de clients suivraune loi de Poisson de paramètre 1/6 = 1heure/10minutes.Le paramètre de la loi de Poisson représente la fréquence avec laquelle l’événementa lieu en moyenne sur l’intervalle de temps considéré.Définition 5.1Soient Ω, P un espace de probabilité, λ 0 et X une v.a.r. discrète telle queXΩ = N.On dit que X suit une loi de Poisson de paramètre λ, noté X ,→Pλ, sik N,PX = k = eλλkk!.Remarque 5.1On rappelle que par définition ex =+Xk=0xkk! . On retrouve donc bien+Xk=0PX = k =+Xk=0eλλkk!= eλ+Xk=0λkk! = eλeλ = 1.7
Page 8 : Remarque 5.2La formule de la loi de Poisson découle de son lien avec la loi Binomiale. Eneffet, dans l’exemple des clients qui entrent dans un magasin, une autre modéli-sation possible aurait été la suivante : on considère que chaque minute il y a uneprobabilité p qu’un client entre dans le magasin. Compter le nombre de clientsrevient donc à effectuer donc 60 fois une expérience de Bernouilli de paramètrep, la v.a.r. associée suit donc une loi Binomiale de paramètre 60, p.On pourrait aussi considéré que toutes les 10 secondes il y a une probabilité p′qu’un client entre, et la v.a.r. qui compte le nombre de clients suivra donc uneloi binomiale B360, p′.On peut voir la loi de Poisson comme la limite de cette modélisation binomialequand on fait tendre le pas de temps vers 0. Naturellement, plus le pas de tempsest court plus la probabilité p qu’un client entre est faible en d’autres termes, pdépend de n : le nombre de pas de temps nécessaire pour recouvrir l’intervalled’1 heure.Plus précisément, si on fixe λ 0 et qu’on regarde la limite quand N →+d’une loi binomiale BN, λNon obtient dans un certain sens une loi de Pois-son.Cela se vérifie par le calcul : Si X ,→BN, λNalors pour tout k J0, NKPX = k =Nk λNk 1 λNNk=N!k!N k!λk 1N k1 λNN 1 λNk= λkk!1 λNN "N!N kN k!1 kNk.Pour le second terme, sachant que ln1 + x x quand x →0 on alimN→+1 λNN=limN→+eN ln1λN =limN→+eNλN = eλ.D’autre part avec l’équivalence N k N quand N →+pour tout k fixé :limN→+N!N kN k!1 kNk=limN→+NN 1 . . . N k + 1N k=limN→+N kN k = 1donc on retrouve bien l’expression de la loi de PoissonlimN→+PX = k = λkk! eλ.8
Page 9 : Exercice 5.11. Une entreprise constate en moyenne 3 accidents du travail par an. L’effectiftotal étant relativement élevé on utilise une loi de Poisson pour modéliserle nombre d’accidents du travail. Quelle est la probabilité que 5 accidentsdu travail aient lieu sur la même année ?2. Dans un parking de centre commercial, il arrive en moyenne 120 voiturespar heure lors des jours de soldes. Calculer la probabilité de voir 4 voituresarriver en 1 minute.Remarque 5.3Dans le premier exercice ci-dessus il est précisé que l’entreprise a un grandnombre d’employés. C’est en effet là que se joue le choix de modélisation. Sil’entreprise n’avait que 20 employés et 3 accidents du travail par an, il seraitraisonnable de modéliser la situation par : chaque employé a une probabilité3/20 d’avoir un accident dans l’année. On utiliserait donc une loi Binomialepour répondre à la question.En revanche, quand le nombre d’employés esttrès grand il est plus pertinent d’utiliser une loi de Poisson plutôt qu’une loiBinomiale dont le paramètre serait très proche de 0. C’est dans ce sens qu’onparle "d’événement rare" quand on introduit la loi de Poisson.Proposition 5.1Soit λ 0 et X ,→Pλ. Alors• EX = λ,• VX = λ .Démonstration :• Calcul de l’espérance :EX =+Xk=0k λkk! eλ = eλ+Xk=1λkk 1! = eλ+Xj=0λλjj! = eλλeλ = λ.• Cette fois encore, pour la variance on commence par calculer EX2 enécrivant k2 = kk 1 + k:EX2 =+Xk=0k2 λkk! eλ =+Xk=2kk 1λkk! eλ ++Xk=0k λkk! eλ= eλλ2+Xk=2λk2k 2! + EX = eλλ2eλ + λ= λ2 + λ.On en déduitVX = EX2 EX2 = λ2 + λ λ2 = λ.9
