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Posté le 31/12/2025

Chargé de TD/CM :

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Page 1 : Département de MathématiquesCycle ingénieur 1ère annéeSemestre 1 – Mathématiques appliquéesMesure et intégrationNotes de coursNisrine FORTIN CAMDAVANT

Page 2 :

Page 3 : Table des matières0.1Approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50.2Exemple d’application : les probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60.3Terminologie et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71Tribu et application mesurable111.1Algèbre de Boole et tribu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2Tribu engendrée, tribu borélienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.1Tribu engendrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.2Tribu borélienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.3Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.4Quelques propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162Introduction à la mesure202.1Fonction d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.2Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.1Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.2Conséquences de la σ-additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.3Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.4Espaces mesurés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273Intégration de fonctions étagées positives313.1Fonction indicatrice de Q sur 0; 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313.2Fonctions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.3Intégrale d’une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353.4Intégration de fonctions mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373.5Principaux théorèmes d’intégration de fonctions positives. . . . . . . . . . . . . .404Intégration de fonctions mesurables464.1Intégration de fonctions réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464.2Propriétés de l’intégrale de fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484.3Mesures à densité - Théorème de Radon-Nikodym. . . . . . . . . . . . . . . . . .514.3.1Mesure définie par une densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514.4Espaces Lp et Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544.5Normes sur Lp p 1, +. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574.6Espaces L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584.6.1Théorème de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604.6.2Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613

Page 4 : Table des matières45Produit de mesures625.1Produit de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625.2Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .645.3Théorème de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Page 5 : Introduction générale au moduleLa théorie de la mesure permet d’associer une grandeur numérique à un ensemble. Plusieurstypes de "mesures" ont déjà été rencontrés : le cardinal d’un ensemble discret, la longueur d’unecourbe, l’aire d’une figure plane, le volume d’un solide en dimension 3, la probabilité d’un évène-ment. . ..Ces mesures sont courantes et forment des cas particuliers d’une notion plus générale de mesuresChapitre 2, outil de base pour une nouvelle théorie de l’intégration, dite intégrale de LebesgueChapitre 3.L’intégrale au sens de Lebesgue généralise la notion de l’intégrale de Riemann. Cette nouvellethéorie s’applique à une classe de fonctions beaucoup plus grande les fonctions mesurables, cettedernière étend la notion de continuité de fonctions Chapitre 1.Une mesure est associée à une famille d’ensembles à mesurer, appelée tribu de parties Cha-pitre 1. Ainsi, une tribu va englober des ensembles mesurables par une mesure donnée.0.1Approche intuitiveIntuitivement, si on se place dans un ensemble non vide Ω, une tribu définie sur Ωcontiendrades sous-ensembles de Ω. Ces ensembles qu’on mesure seront "rassemblés" de la façon suivante :• La mesure choisie doit nous permettre de mesurer ΩdoncΩdoit appartenir à la tribu ;• Si A appartient à la tribu, on peut donc la mesurer et on souhaite que le complémentairede A dans Ωsoit aussi mesurable donc on impose dans la définitionla condition de stabilité par passage au complémentaire ;• Si on sait mesurer deux parties A et B appartiennent donc à la tribu, on souhaite queleur union soit aussi mesurable donc on impose dans la définitionla condition de stabilité par union dénombrable.On définira les fonctions qui préservent la propriété de mesurabilité de l’image réciproque d’unensemble mesurable. Cette théorie s’appliquera à des théorèmes de convergence beaucoup pluspuissants : théorème de convergence monotone, théorème de convergence dominée Chapitre 5.5

Page 6 : Table des matières60.2Exemple d’application : les probabilitésLe calcul des probabilités s’intéresse à mesurer la "chance" qu’un certain "événement", résultatd’une expérience, a de se produire. Considérons par exemple "l’expérience" qui consiste à lancerun dé. On appelle "éventualité" associée à cette expérience un des résultats possibles de cetteexpérience, et "univers des possibles" l’ensemble Ωde ces éventualités. Dans notre exemple, leséventualités peuvent être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6 .On pourrait choisir aussi comme éventualités les résultats correspondant au "dé cassé". On peutdonc tout de suite remarquer que l’ensemble Ωdes univers du possible dépend de la modélisation,c’est à dire de la formalisation mathématique que l’on fait du problème. Notons qu’il est parfoisdifficile de définir l’ensemble Ω.Supposons que toutes les faces paires d’un dé soient effacées. Dans ce cas, si le résultat dulancer est pair, il nous est impossible de déterminer si la face 2 est survenue. On peut seulementdéterminer si le résultat est pair ou impair et dans ce dernier cas, déterminer quelle était la faceobtenue 1,3,5. Un sous-ensemble E de Ωcorrespond à l’événement et qu’un des éléments de Es’est réalisé. Si l’on retourne à l’expérience du lancer du dé, les événements qui sont observablesseront tous les sous-ensembles de Ω. Par exemple, l’événement 1; 2; 3 est observable. Par contre,si l’on est dans le cas où les faces paires sont non différentiables, l’événement 1; 2; 3 n’est plusobservable puisqu’on n’est plus en mesure de déterminer si l’événement 2 est survenu. Dans cedernier cas, les seuls événements possibles sont, 1 , 3 , 5 , 1; 3 , 1; 5 , 3; 5 , 1; 3; 5 , 1; 2; 4; 6 ,2; 3; 4; 6 , 2; 4; 5; 6 , 1; 2; 3; 4; 6 , 1; 2; 4; 5; 6 , 2; 3; 4; 5; 6 , 2; 4; 6 , Ω.Intuitivement, si deux événements sont observables, leur réunion devrait l’être aussi. De plus, lecomplémentaire d’un événement observable devrait être observable aussi car si on peut déterminersi l’événement E est survenu, alors on peut également déterminer si l’événement Ec est survenu.Finalement, Ωsurvient à tous les coups, donc ce sont toujours des événements observables.

Page 7 : 70.3. Terminologie et définitions0.3Terminologie et définitionsSoit Ωune partie d’éléments non vide. La classe ensemble des parties de Ω, notée PΩ estdéfinie par :PΩ = A,A Ω .Classe de partiesExemple 1. Ω= a, b, c. L’ensemble des parties de Ωest donné par :PΩ =n, a , b , c , a, b , a, c , b, c , a, b, co.Attention, on dit que a Ω, a Ω, a PΩ etaPΩ.Pour toute partie A PΩ, on note le complémentaire de A dans ΩparAc = Ω\A =x Ω, x /A.Le complémentaire d’un ensembleSoient A et B deux parties de ΩalorsA Bc = Ac Bc etA Bc = Ac Bc.Propriété 1.Soit Ωun ensemble d’éléments. On dit que■Ωest infini s’il existe x0 Ωet une injection de Ωdans Ω\x0.■Ωest dénombrable s’il existe une bijection entre l’ensemble Ωet N.■Ωest au plus dénombrable s’il est fini ou dénombrable.Dénombrabilité d’un ensembleExemple 2.N est infini car 0 N et l’applicationf:N→Nn7→n + 1est une injection.

Page 8 : Table des matières8Exemple 3.• N, Z, Q, N × N sont dénombrables.⇝L’applicationf:N→Nn7→nest une bijection.⇝L’applicationf:N→Zn7→xnoù x2k = k et x2k+1 = k 1, k étant un entier naturel, est une bijection.⇝L’applicationf:N→N × Nn7→xnoù xn = i, j tel que i + j = n est une bijection.• R n’est pas dénombrable.On dit que AinNforme une partition de Ωsi :• n N, An ̸= .• n N, m N, n ̸= m, An Am = .•+Sn=1An = Ω.Une partitionSoient A et B deux parties de Ω. La différence symétrique de A et B notée A a B est l’ensembledes éléments appartenant à A ou à B exclusivement.AiB = A B \ A BDifférence symétriqueSoient E et F deux ensembles et f : E →F une application.• Soit B F. On appelle image réciproque de B par f l’ensemble des éléments x de EImage réciproque et image directe

Page 9 : 90.3. Terminologie et définitionsdont l’image fx par f est dans B. C’est un sous-ensemble de E ; on le notef 1B = x E, fx B .• Soit A E. On appelle image directe de A par f l’ensemble des images fx deséléments x de A. C’est un sous-ensemble de F ; on le notefA = y F, x A tel que y = fx.• On a f 1 = , mais même si B est non vide, f 1B peut être vide.• Pour toute partie B de F, ff 1BB.ff 1B= B ⇐⇒f est surjective.• Pour toute partie A de E, A f 1 fA .A = f 1 fA ⇐⇒f est injective.• Pour toute famille BiiI de parties de F,▶f 1 \iIBi!=\iIf 1 Bi.▶f 1 iIBi!=iIf 1 Bi.Propriété 2.Soit fnn une suite de fonctions définies sur Ω. On définit :lim inf fn = suppNinfnp fnxet lim sup fn = infpNsupnpfnx.Limite inférieure et limite supérieuref + = sup f, 0 ,f = sup f, 0 = f+ .Partie positive et partie négativef = f + f et f = f + + f .Propriétés 1.

Page 10 : Table des matières10Soit A Ω. On appelle fonction indicatrice de A, notée 1A ou χA, la fonction de Ωdans0, 1 qui, à tout x Ω, associe 1 si x A et 0 si x /A :1Ax =1six A0six /AFonction indicatricea x Ω, 1x = 0 et 1Ωx = 1.b A B ⇔1A 1B ;c 1AB = 1A.1B = inf1A, 1B ;d 1AB = 1A + 1B 1AB = sup1A, 1B ;e 1Ω\A = 1 1A ;f si AiiN est une famille dénombrable de parties de Ωtelle que An Ap = pourn ̸= p alors 1 SiNAi =XiN1Ai.Propriété 3 Quelques propriétés sur la fonction indicatrice.

Page 11 : 1 Tribu et application mesurableSommaire1.1Algèbre de Boole et tribu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2Tribu engendrée, tribu borélienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.1Tribu engendrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.2Tribu borélienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.3Applications mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.4Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.1Algèbre de Boole et tribuSoit A PΩ. On dit que A est une algèbre de Boole de parties de Ω si elle vérifie :1. ΩA,2. A A =⇒Ω\A A,3. A A, B A =⇒A B A.Définition 1.Soit T PΩ, on dit que T est une tribu de parties ou σ-algèbre si elle vérifie :1. ΩT ,2. la stabilité par passage au complémentaire : A T =⇒Ω\A T ,3. la stabilité par réunion dénombrable : Si An T pour tout n N alorsSnNAn T .Définition 2.Remarque 1.11

Page 12 : Chapitre 1. Tribu et application mesurable12• Une tribu est donc une algèbre de Boole stable par réunion dénombrable.• Si An T pour tout n N alors TnNAn T . Démonstration en TD1On appelle espace mesurable tout couple Ω, T formé par un ensemble Ωet une tribuT sur Ω. Les ensembles mesurables sont les parties de Ωqui appartiennent à T .Définition 3.Exemple 4.♢La plus petite tribu de Ωest T = , Ω, elle est appelée tribu grossière.♢La plus grande tribu de Ωest T = P Ω, elle est appelée tribu discrète.Exemple 5 La tribu trace. Soient T une tribu de parties sur Ωet U Ω.TU = A U, A T est une tribu sur U. Cette tribu est appelée la tribu trace sur U.En effet,⇝U TU car U = ΩU et ΩT .⇝Soit B TU, donc B = A U avec A T . Pour simplifier les notations, on notera c lecomplémentaire de dans Ω.U \ B = U Bc = U A Uc = U Ac Uc = U Ac.Comme A T , T est une tribu sur Ωalors Ac T , il s’en suit queU \ B = U Ac,Ac TDonc U \ B TU.⇝Soit Bn TU pour n N. Donc n N, Bn = U An avec An T .nNBn =nNU An = U nNAn!

Page 13 : 131.2. Tribu engendrée, tribu borélienneEt comme An T et T est une tribu alors SnN An T . FinalementnNBn TU.1.2Tribu engendrée, tribu borélienneEn général, une tribu contient énormément d’éléments d’où le nom de tribu. Souvent, on nepeut pas décrire tous les éléments d’une tribu mais cela n’a pas d’importance. En effet, ce qu’ilfaut retenir, sont certaines parties de Ωde la tribu et on doit rester dans la tribu lorsqu’on itèresur les éléments de la tribu les opérations de complémentarité et de réunion dénombrable.1.2.1Tribu engendréeSoit Ωun ensemble. Ωquelconque, H PΩ. On dit que T est la tribu engendrée parH si T est la plus petite tribu au sens de l’inclusion de parties de Ωcontenant H.On note dans ce cas, T = σH.Définition 4.On considère un ensemble quelconque Ωet H PΩ. σH existe toujours, c’est l’in-tersection de toutes les tribus sur Ωcontenant H.Proposition 4.Remarque 2. Soient H1 PΩ et H2 PΩ.1. H1 σH1. Par définition de σH1.2. Si T est une tribu contenant H alors σH T . Par définition de σH.3. Si H1 H2 alors σH1 σH2.⇝H1 H2 σ H2 .⇝σ H2 est une tribu donc σ H2 est une tribu qui contient H1. Comme σ H1 est laplus petite tribu contenant H1 alors σ H1 σ H2 .Exemple 6.• Si H = ou bien si H = Ω, alors σH = , Ω• Si H = A ou bien si H = Ac où A ̸= et A ̸= Ω, alors σH = , A, Ac, Ω.

Page 14 : Chapitre 1. Tribu et application mesurable14• Soient Ω= a, b, c, H = a; b ; on peut décrire la tribu engendrée par H :σH =ΩzΩtribu; ;a; bzles éléments de H; b, c z ac; a, c z bc; a, b z ab;czabc.1.2.2Tribu borélienneSi l’ensemble Ωpossède une structure topologique 1, la notion de tribu engendrée permet dedéfinir la plus petite tribu adaptée à cette structure.Soit Ω, d un espace métrique a. On appelle tribu borélienne de Ω, la tribu engendréepar les ouverts de Ω, d. On la note BΩ et ses éléments sont appelés les boréliens deΩ.a. Ω, d est un espace métrique si Ωest muni d’une distance d : Ω→R+ vérifiant les propriétéssuivantes 1. dx, y = 0 ⇔x = y, 2. dx, y = dy, x et 3. dx, z dx, y + dy, z.Définition 5.La tribu borélienne sur R respectivement R est la tribu engendrée par les intervalles ouverts deR.Exemple 7.1; 2 BR, en effet, 1; 2 = 1; 2 1 avec♢1; 2 BR,♢1 =+Tn=11 1n; 1 + 1nzAnBR.1.3Applications mesurablesLa notion de fonction mesurable étend la notion de fonctions continues. Elle prend son senssur des ensembles munis d’une tribu et joueront un rôle important dans l’intégration au sens deLebsgue.1. T définit une topologie sur Ωsi ΩT , T , la stabilité par union finie ou infinie et par intersection finieest vérifiée.

Page 15 : 151.3. Applications mesurablesSoient Ω1, T1 et Ω1, T1 deux espaces mesurables. Soit f : Ω1 →Ω1. On dit que f estT1, T2-mesurable si l’image réciproque de tout élément de T2 par f appartient à T1 :B T2,f 1B T1.Définition 6.Quand il n’y a pas de confusion possible, on dit que f est mesurable.Exemple 8. Si f est une fonction constante sur Ω1 où Ω1 est muni de la tribu T1 alors fest mesurable. En effet :x Ω, fx = y0,où y0 Ω2.Ω2 est munie de la tribu T2. Soit B T2, doncf 1B = x Ω1, y0 B =si y0 /BΩ1si y0 BPuisque T1 est une tribu sur Ω1 alors Ω1 T1 et T1, ainsi f 1B T1.Si X, d et Y, δ sont deux espaces métriques et si f : X →Y est BX, BY-mesurable, on dit que f est borélienne.Définition 7.Soit f : Ω1, T1 →Ω2, T2. Si T2 est engendrée par une classe C2, T2 = σ C2 alors fest mesurable si et seulement si B C2,f 1 B T1.Propriété 5.Démonstration .• ⇒ Supposons que f est T1, T2-mesurable. Soit B C2.Comme T2 = σ C2 alors C2 T2 et donc B T2. La fonction f étant T1, T2-mesurable,par définition, on obtient le résultat, f 1 B T1.• ⇐ Supposons que B C2,f 1 B T1. Soit D T2.

Page 16 : Chapitre 1. Tribu et application mesurable16Comme T2 = σ C2 alors J N, Bj C2, j J tels que D =jJBj.f 1D = f 1jJBj=jJf 1 Bj .Comme Bj C2 alors, par hypothèse, f 1 Bj T1. La propriété de stabilité par uniondénombrable d’une tribu nous conduit à déduire quejJf 1 Bj T1.Par conséquent, f 1D T1. f est donc T1, T2-mesurable.Soient X, d et Y, δ deux espaces métriques et soit f : X →Y. Si f est continue a, elleest borélienne.a. Si f : X →Y avec X et Y munis respectivement d’une structure topologique TX et TY, alors ondit que f est continue si f1OYzTYTX.Corollaire 1.Attention : la réciproque est fausse. Voir exemple 9Démonstration .Soit OY un ouvert de l’espace métrique Y, δ. Comme f est continue alorsf 1OY est un ouvert de l’espace métrique X, d.⇝D’après la définition 5, OY BY et f 1OY BX.⇝D’après la propriété 5, l’application f est mesurable.1.4Quelques propriétésSoient Ω1, T1, Ω2, T2 et Ω3, T3 des espaces mesurables. Soientf : Ω1 →Ω2 une fonction T1, T2-mesurableg: Ω2 →Ω3 une fonction T2, T3-mesurablealors g ◦f est T1, T3-mesurable.Proposition 6.

Page 17 : 171.4. Quelques propriétésDémonstration .Soit B TZ,g ◦f1 B =f 1 ◦g1B = f 1 g1BzTYTX.Soient Ω, T un espace mesurable, f, g : Ω, T →R, BR des fonctions mesurableset λ R, alors les fonctionsf + g,fg,λf,minf, g,maxf, gsont mesurables.Proposition 7 Opérations sur les fonctions numériques.Démonstration .1. On commence par démontrer la mesurabilité de f + g, fg et λf. Pour cela, on utilisera laproposition 5.On pose Φ l’application définie comme suit :Φ:Ω→R × Rx7→fx, gxOn note Ψ1 et Ψ2 deux applications réelles de R2 définies comme suit :Ψ1:R × R→Rx1, x27→x1 + x2Ψ2:R × R→Rx1, x27→x1x2Ψ1 et Ψ2 sont continues sur R2 donc d’après le corollaire 1., Ψ1 et Ψ2 sont boréliennes.L’application Φ est borélienne, en effet, si V un ouvert de R2 alors il existe des intervallesouverts In et Jn de R tels que ilV =nNIn × Jn .En particulier,Φ1V =nNΦ1 In × Jn =nNf 1In g1Jn.Par la mesurabilité de f et de g, f 1In T et g1Jn T . Puisque T est stable parintersection et par réunion dénombrable alorsnNf 1In g1Jn T . On en déduit que

Page 18 : Chapitre 1. Tribu et application mesurable18Φ1V T . L’application Φ est donc une fonction mesurable.a Notons que f + g = Ψ1 ◦Φ. Ψ1 est borélienne, Φ est T , BR-mesurable. d’après laproposition 5., Ψ1 ◦Φ est donc mesurable.b Notons que fg = Ψ2 ◦Φ. Ψ2 est borélienne, Φ est T , BR-mesurable. d’après laproposition 5., Ψ2 ◦Φ est donc mesurable.c λf est un cas particulier de fg avec g = λ une application constante. Donc λf estmesurable.2. Soit a R. Puisqueminf, g1 , a=minf, g a=f a g a .maxf, g1a, +=maxf, g a=f a g a .f et g sont mesurables donc f a T , f a T , g a T et g a T .Puisque T est stable par union et par intersection alorsf a g a Tetf a g a TOn déduit que les fonctions minf, g et maxf, g sont mesurables.• Soient fn : Ω→R des fonctions mesurables, alors infn fn , supn fn, lim infnfn et lim supnfnsont mesurables à valeurs dans R.• Soit f : Ω→R une fonction mesurable, alors f est une fonction mesurable.ConséquencesSoient Ω1, T1 et Ω2, T2 deux espaces mesurables. Soit Unn une suite finie ou infinied’éléments dans T1 telle que Ω1 = SnNUn. Soit f : Ω1 →Ω2, alors f est T1, T2-mesurablesi et seulement si fUn restriction de f à Un est TUn, TY -mesurable pour tout n.Proposition 8.

Page 19 : 191.4. Quelques propriétésExemple 9.X = Y = R, TX = TY = BR.f :X →Yx 7→fx =1xsi x ̸= 01si x = 0On applique la proposition 8 avec U0 = Ret U1 = 0.• Rest ouvert ⇒U0 BR• 0 est fermé ⇒U1 BR• U0 U1 = R• fU0 est continue ⇒f est TR, BR-mesurable.• fU1 est constante ⇒f est T0, BR-mesurable.D’où f est BR, BR-mesurable.

Page 20 : 2 Introduction à la mesureLa notion de mesure va étendre la notion usuelle de longueur pour les ensembles de R, ou devolume pour ceux de Rd, et ceci de deux manières :• on veut pouvoir considérer des espaces de base plus généraux, ou plus "abstraits" espacesde dimension infinie, espaces sur lesquels on définit les probabilités, etc . . .• on veut englober dans le même cadre mathématique d’une part les notions de longueur,surface, volume, et d’autre part la notion de "masses" ou "charges ponctuelles" que l’onrencontre en mécanique ou en électricité.Sommaire2.1Fonction d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.2Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.1Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.2Conséquences de la σ-additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.3Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.4Espaces mesurés complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.1Fonction d’ensemblesSoient Ωun ensemble non vide et PΩ l’ensemble des parties de Ω. Soit T PΩ.Une fonction m : T →0, + est une fonction d’ensembles positive.Définition 1.Une propriété que l’on exigera d’une telle fonction sera la σ-additivité au sens suivant :Une fonction m : T →0, + est σ-additive si et seulement si pour toute suite AnnNdans T telle que SnNAn T et An Ap = pour n ̸= p,m nNAn!=XnNm An .Définition 2.20

Page 21 : 212.2. Mesure2.2MesureUne "mesure abstraite" est une fonction d’ensemble vérifiant certaines propriétés. Soit Ωunensemble non vide.Soient T une tribu de parties de Ωet m : T →0, + une fonction d’ensemblespositive. m est une mesure positive sur T si et seulement si les conditions suivantes sontvérifiées :1. m = 0 ;2. m est σ-additive.Définition 3.2.2.1Exemples::::::Masse:::ou::::::::mesure:::de:::::::DiracSoient x0 Ωet A P Ω. On pose :δx0A =1si x0 A0si x0 /ASi Ωest muni d’une tribu T alors δx0 est une mesure appelée mesure de Dirac de masse 1 etconcentrée au point x0.:::::::Mesure::::de ::::::::::comptageSoit m : PΩ →0, + définie parmA =card Asi A est fini+si A est infiniRemarque 1. Par convention, +est considéré ici comme un élément de R = R+♢m est une mesure.♢m aura beaucoup d’intérêt pour Ω= N.

Page 22 : Chapitre 2. Introduction à la mesure22:::::::Mesure::::de ::::::::::Lebesgue :::sur:::RSoit Ωl’ensemble des unions finies d’intervalles semi-ouverts. On se donne la fonctioncroissante F : R →R . SiA = a1, b1a2, b2· · · an, bnavec a1 b1 a2 b2 · · · an bn. On posemA =nXi=1Fbi F aiavec F+ = supxRFx et F = infxR Fx.m est additive sur Ω.En prenant Fx = x pour tout x R, F bi F ai est la longueur de l’intervalle ai, bi.On a alorsmA =nXi=1bi aiEn prolongeant m à la plus petite tribu contenant Ω, on obtient la mesure de Lebesgue surR, notée λ. On aλ x = 0,x Ret λ ai, bi = λ ai, bi = λ ai, bi = bi ai.Remarque 2.pourquoi ne pas aller plus loin que la σ-additivité ?On pourrait supposer pour une mesure m définie sur une tribu T , la propriété suivante :Si Ai, i I est une famille d’éléments de T deux à deux disjoints et tel que TiIAi T avec Iquelconque pas forcément dénombrable alorsm iIAi=XiImAiCette propriété n’est pas naturelle, si λ est la mesure de Lebesgue sur R, on a λx= 0 pourtout x R, avec la condition précédente, et en écrivant 0, 1 =Sx0,1x on auraitλ0, 1=Xx0,1λx= 0,0 ̸= 1.

Page 23 : 232.2. Mesure2.2.2Conséquences de la σ-additivitéSoient Ωun ensemble, T une tribu de parties de Ωet m une mesure positive sur T . On a lespropriétés suivantes :1. Si A, B T 2 tels que A B alors mA mB.2. Si An T pour tout n N, alors m SnNAnXnNmAn.3. Si An T pour tout n N, avec An An+1 alorsm nNAn=limn→+mAn.4. Si An T pour tout n N, avec An+1 An et mA0 +alorsm \nNAn=limn→+mAn.Démonstration .1. Soit A et B deux ensembles mesurables tels que A B. On noteB\A = B Ω\A.Remarquons que,A B\A= B et A B\A= .Comme m est σ-additive alorsmB = mA + mB\Az0d’après A B\A= BDonc mA mB.2. Soit AnnN une suite d’éléments de T . On poseA′n = An\ jnAjA′n T et A′n peut être éventuellement vide. n N, on aA′n An,A′p A′q = pour p ̸= q etnNA′n =nNAn.

Page 24 : Chapitre 2. Introduction à la mesure24Comme m est σ-additive, m SnNAn= m SnNA′n= PnNmA′n.D’après la première propriété, A′n An ⇒mA′n mAn. D’oùm nNAnXnNmAn.3. On garde la construction de la suite A′nnN de 2. Comme An An+1 pour tout entier nalorskn=0A′n =kn=0An = Ak,pour tout k.m SnNAn=m SnNA′n=PnNmA′n♯par σ additivité=limn→+nPk=0mA′k♯série à termes positifs=limn→+mnSk=0A′k♯par σ additivité=limn→+m An4. Soit Bn = A0\An. On a Bn Bn+1. D’après Pr.3.m nNBn=limn→+mBn.On a A0 = An Bn avec An Bn = et comme m est σ-additive, alors :mA0 = mAn + mBnet donc mBn = mA0 mAn. De même SnNBn = A0\ TnNAndonc m SnNBn=mA0 m TnNAn. AinsimA0 m \nNAn!=limn→+mBn =limn→+mA0 mAnPar linéarité de la limite, on en déduit m TnNAn=limn→+mAn car mA0 +.

Page 25 : 252.3. Ensembles négligeablesRemarque 3.Dans la propriété 4., on peut remplacer l’hypothèse”mA0 +”par "il existe k N tel que mAk +".Si on ne met pas l’hypothèse mA0 +ou il existe k N tel que mAk +, lapropriété 4. n’est plus valable.Prenons Ω= N, T = PN, m la mesure de comptage sur N définie parmA =card Asi A est fini+si A est infiniSoit An = n, n + 1, . . ., TnNAn = , donc m TnNAn= 0. D’autre part mAn = +n N, donc m TnNAn̸= limn mAn.Mise en garde.2.3Ensembles négligeablesLes ensembles négligeables jouent un rôle très important dans la théorie de la mesure et del’intégration. Les ensembles négligeables vont permettre d’exprimer le fait que certaines proprié-tés ponctuelles continuité, convergence simple, majoration,... n’ont pas lieu en tout point maisseulement "presque partout", c’est à dire sur le complémentaire d’un ensemble négligeable.Il s’avère techniquement nécessaire de ne pas restreindre la notion d’ensemble négligeable auxseuls sous-ensembles mesurables.Dans tout ce chapitre, Ωdésigne un ensemble quelconque non vide, T une tribu de parties deΩet m une mesure positive sur T . Le triplet Ω, T , m est appelé un espace mesuré.Soit Ω, T , m un espace mesuré.1. On dit qu’un ensemble N T est m-négligeable si mN = 0.2. On dit qu’une partie N de Ωest m-négligeable s’il existe A T tel que N A etmA = 0.Définition 4.

Page 26 : Chapitre 2. Introduction à la mesure26Exemple 1.On considère l’espace mesuré Ω, T , m où Ω= a; b; c, a, b et c des réels etT = Ω, , a, b, c.•:::Cas:::où:::::::m = δc:::est::la:::::::mesure:::de :::::Dirac::::::::::concentrée:::en ::c.⇝Les parties mesurables de mesure nulle : δc = 0, δc a, b = 0 car c /a, b.⇝Les parties non mesurables négligeables :♢a a, b et δc a, b = 0 donc a est δc-négligeable.♢b a, b et δc a, b = 0 donc b est δc-négligeable.Les ensembles δc-négligeables sont donc , a, b, a et b.•:::Cas:::où:::::::m = µd::::est ::la :::::::mesure ::de::::::::::comptage.⇝Les parties mesurables de mesure nulle : µd = 0.⇝Les parties non mesurables négligeables : La seule partie mesurable de mesurenulle est l’ensemble vide et ce dernier ne contient aucune partie de Ω.L’unique ensemble µd-négligeable est donc .•:::Cas:::où::::::m = λ::::est ::la :::::::mesure ::de:::::::::Lebesgue.⇝Les parties mesurables de mesure nulle : λ = 0, λ Ω = λ a, b, c = 0 cara, b, c est dénombrable.a, b Ω, c Ωet λ Ω = 0 donc λ a, b = λ c = 0.⇝Les parties non mesurables négligeables : Toutes les parties de Ωsont par définitioninclues dans Ω, λ Ω = 0 donc toutes les parties de Ωsont λ-négligeables.Les ensembles λ-négligeables sont donc toutes les parties de Ω.1. est m-négligeable.2. Si N est un ensemble m-négligeable, N ′ T avec N ′ N, alors N ′ est m-négligeable.3. Laréuniond’unefamilledénombrabled’ensemblesm-négligeablesestm-négligeable.Proposition 1.Remarque 4.Si Ω= R, m = λ la mesure de Lebesgue et T = BR, alors pour tout x R,x est λ-négligeable. x est fermé et λx= 0.

Page 27 : 272.4. Espaces mesurés completsLa réunion d’une famille infinie non dénombrable d’ensembles m-négligeables n’est pas m-négligeable.En effet, pour Ω= R, T = BR et m = λ où λ est la mesure de Lebesgue, on considèreA = 0, 1.A T et λA = 1. A n’est pas λ-négligeable.De plus, on peut écrire A =Sx0,1x avec x λ-négligeable, x 0, 1. Doncx0,1xn’est pas λ-négligeable.Mise en garde.Une propriété Px dépendant de l’élément x Ωest dite vérifiée m-presque partoutou simplement presque partout quand il n’y a pas d’ambiguïté si l’ensemble des x deΩpour lesquels la propriété Px est fausse est m-négligeable.Définition 5.On écrira en abrégé Px est m-p.p. ou simplement p.p. quand il n’y a pas d’ambiguïté.2.4Espaces mesurés completsOn a vu dans la définition 4 qu’une partie N de Ωm-négligeable n’est pas nécessairement unélément de T . Pourtant pour respecter le principe de monotonie croissante de la mesure m, il estnaturel d’attribuer à N la mesure 0. On est alors en train d’élargir la tribu T . D’où la définitionsuivante :Si toutes les parties de Ωm-négligeables sont mesurables, on dit que l’espace Ω, T , mest complet.Définition 6.Exemple 2.On considère l’espace mesuré Ω, T , m où Ω= a; b; c, a, b et c des réels etT = Ω, , a, b, c.

Page 28 : Chapitre 2. Introduction à la mesure28•:::Cas:::où::::::::m = δc :::est:::la :::::::mesure :::de :::::Dirac:::::::::::concentrée ::en:::c. L’ensemble des parties δc-négligeables estN = , a, b , a , ba est δc-négligeable mais non mesurable donc Ω, T , δc n’est pas un espace mesurécomplet.•:::Cas:::où:::::::m = µd::::est ::la :::::::mesure ::de::::::::::comptage. L’ensemble des parties µd-négligeables estN = .est µd-négligeable et mesurable donc Ω, T , µd est un espace mesuré complet.•:::Cas:::où::::::m = λ::::est ::la :::::::mesure ::de:::::::::Lebesgue. L’ensemble des parties λ-négligeables estN = P Ω .a est λ-négligeable mais non mesurable donc Ω, T , λ n’est pas un espace mesurécomplet.Lorsqu’un espace mesuré Ω, T , m n’est pas complet, on peut le compléter canoniquement dela façon suivante :Soit Ω, T , m un espace mesuré et soit N l’ensemble des parties m-négligeables. OnconsidèreeT = A N; A T et N N.Pour tout A T et pour tout N N, on pose emA N = mA. Alors1. eT est une tribu sur Ωcontenant T ;2. em définit une mesure positive sur eT qui coïncide avec m sur T ;3. Si on note eN la famille des sous-ensembles de X em-négligeables alors eN = N ;4. Ω, eT , em est un espace mesuré complet.Proposition 2.On dit que Ω, eT , em est le complété de l’espace mesuré Ω, T , m.Définition 7.

Page 29 : 292.4. Espaces mesurés completsRemarque 5.• Un espace mesuré complet est égal à son complété.• Si Px est une propriété dépendant de x Ωalors, Px est vraie m-p.p. si et seulement siPx est vraie em-p.p.La tribu eT dépend et de la tribu T et de la mesure m par rapport à laquelle on effectue lacomplétion.Mise en garde.Exemple 3.On considère l’espace mesuré Ω, T , m où Ω= a; b; c, a, b et c des réels etT = Ω, , a, b, c.•:::Cas:::où::::::::m = δc :::est:::la :::::::mesure :::de :::::Dirac:::::::::::concentrée ::en:::c. L’ensemble des parties δc-négligeables estN = , a, b , a , bΩ, T , δc n’est pas un espace mesuré complet et son complété est obtenu par union desensembles mesurables et les ensembles négligeables :XXXXXXXXXXXXXN NA TΩa, bcΩa, bca, bΩa, ba, bΩaΩaa, ba, cbΩba, bb, cTableau 1. Les unions A NLa tribu complétée dans ce cas est donc ˜T = Ω, , a, b, c, a, b, a, c, b, c.•:::Cas:::où::::::::m = µd :::est::la:::::::mesure:::de::::::::::comptage. Ω, T , µd est un espace mesuré completdonc ˜T = T .•:::Cas:::où::::::m = λ::::est ::la :::::::mesure ::de:::::::::Lebesgue. L’ensemble des parties λ-négligeables estN = P Ω .Ω, T , λ n’est pas un espace mesuré complet et dans ce cas ˜T = P Ω.

Page 30 : Chapitre 2. Introduction à la mesure30Remarque 6 La tribu de Lebesgue LR. Si Ω, T , m = R, BR, λ. L’espace R, BR, λn’est pas complet.• La tribu eT est la tribu de Lebesgue sur R et on la note LR ;• La mesure em s’appelle aussi la mesure de Lebesgue et sera aussi notée λ au lieu de eλ ;• Les éléments de LR sont appelés parties mesurables au sens de Lebesgue ou parties Lebesgue-mesurables.

Page 31 : 3 Intégration de fonctions étagées positivesDans la suite de ce cours, on considère l’espace mesuré Ω, T , µ. Les fonctions étagées jouent,dans la construction de l’intégrale de Lebesgue, le rôle réservé aux fonctions en escalier dans lathéorie de l’intégrale de Riemann.Sommaire3.1Fonction indicatrice de Q sur 0; 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313.2Fonctions étagées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.3Intégrale d’une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . . . .353.4Intégration de fonctions mesurables positives. . . . . . . . . . . . .373.5Principaux théorèmes d’intégration de fonctions positives . . . . . .403.1Fonction indicatrice de Q sur 0; 1Soit la fonction f définie sur l’intervalle 0; 1 par : fx =1six Q0six /QOn va montrer que cette fonction n’est pas intégrable au sens de Riemann. NotonsPn =nxn0 , xn1 , · · · , xnn1, xnnooù xn0 xn1 · · · xnn , xn0= 0, xnn= 1 une subdivision du segment 0; 1. Soit de plusCn = Cni1in un ensemble de points tels quexni1 Cni xni.On définit alors la somme de Riemann S f, Pn, Cn associée à la fonction f, à la subdivision Pn,et à l’ensemble Cn par :S f, Pn, Cn =nXi=1f Cnixnixni1.31

Page 32 : Chapitre 3. Intégration de fonctions étagées positives32On sait alors que l’intégrale de Riemann IR f de f, si elle existe, est définie par :IR f =Z 10fxdx =limn→+S f, Pn, Cn .3.1De plus, cette définition est indépendante du choix de la suite de subdivisions Pn et de l’ensembleCn. On considère la subdivision suivante :Pn =0; 1n; 2n; · · · ; n 1n; 1,et les deux ensembles distincts suivants :Cn=Cni1inavecCni ixni1; xnihQ.C′n=nC′nio1inavecC′ni ixni1; xnih\Q.Autrement dit, Cni et C′ni sont respectivement rationnel et irrationnel, on a :i 1, · · · , n 1 ,f Cni = 1 et fC′ni= 0.La relation 3.1 entraine quelimn→+S f, Pn, Cn =limn→+Sf, Pn, C′n.3.2OrS f, Pn, Cn=nXi=1f Cni 1n=1nnXi=11=1Sf, Pn, C′n=nXi=1fC′ni 1n=1nnXi=10=0ce qui contredit l’égalité 3.2 ainsi la fonction f n’est pas Riemann-intégrable.Autre point de vue ?Construire une subdivision de f 0; 1. On sait que f 0; 1 = 0; 1 donc on prendra lasubdivisionFn = y0; y1où y0 = 0 et y1 = 1, on a bien y0 y1. On définit alors la somme S f, Fn associée à la fonctionf et à la subdivision Fn par :S f, Fn =2Xi=1mesure def 1 yiyi.

Page 33 : 333.2. Fonctions étagéesSi on fait le choix de travailler avec la mesure de Lebesgue λ, alorsS f, Fn=λf 1 0× 0 + λf 1 1× 1=λ 0; 1 \Q × 0 + λ 0; 1 Q × 1=1 × 0 + 0 × 1=0.N’ayant qu’une seule subdivision possible, la somme S correspond alors à l’intégrale qu’on souhaitecalculer.3.2Fonctions étagéesSoit f une fonction de Ωdans R. La fonction f est dite T -étagée si f est T , BR-mesurable et fΩ est un sous-ensemble fini de R.Définition 1.Exemple 1. Soit n N. φ =nPi=1ai1Ai où ai R et Ai T pour tout i J1, nK.• φ est mesurable car c’est une combinaison linéaire de fonctions mesurables.• φ prend un nombre fini de valeurs aii=1,··· ,nφ est donc une fonction T -étagée.Notations :EΩ, T = f : Ω→R T - étagéesE+Ω, T = f : Ω→0, + T - étagées:::::::::::::::Représentation:::::::::::canonique::::::d’une:::::::::fonction:::::::étagéeSoit f une fonction étagée. Désignons par a1, . . . , am les éléments de fΩ, la suite ai1imétant strictement croissante, et posons pour tout i J1, mKAi = f 1 ai .

Page 34 : Chapitre 3. Intégration de fonctions étagées positives34Les sous-ensembles A1, A2, . . . , Am de Ωsont non vides, mesurables, deux à deux disjoints et deréunion Ω. Ainsi f s’écrit sous la formef =mXi=1ai1Ai3.3Inversement, étant données une suite strictement croissante ai1im d’éléments de R et une suiteAi1im de sous-ensembles de Ω, mesurables, non vides, deux à deux disjoints et dont la réunionest Ω, il existe une fonction étagée f de Ωdans R et une seule telle quef =mXi=1ai1Ai.On dira que le couplea1, . . . , am, A1, . . . , Amest le couple canonique de f et que 3.3 est lareprésentation canonique de f.Exemple 2.1. Soit A T \ . La fonction u = 1A est étagée et a pour représentation canoniqueu = 0 × 1AC + 1 × 1A.2. Ω= R, T = BR. Soit φ = 10,+, son écriture canonique est :φ = 0 × 1,0 + 1 × 10,+.D’autres écritures non canoniques de φ :φ=0za1×1,0+ 1za2×10,1+ 1za3×11,+a2 = a3 =⇒pas canoniqueφ= 0 × 1 , 0zA1+ 13 × 10, + z A2+ 23 × 10, + z A3, A2 A3 ̸= =⇒pas canoniqueSoient φ et ψ deux fonctions étagées sur Ω, α et β deux réels alors les fonctions• αφ + βψ•φψ•supφ, ψ•infφ, ψsont des fonctions étagées sur Ω.Propriétés 2 Opérations sur les fonctions étagées.

Page 35 : 353.3. Intégrale d’une fonction étagée positive3.3Intégrale d’une fonction étagée positiveSoit φ E+Ω, T etmXi=1ai1Ai sa représentation canonique. On appelle intégrale de φ surΩpar rapport à la mesure µ et on noteZΩφdµ ouZΩφxdµx, la sommemXi=1aiµAi :ZΩφdµ =mXi=1aiµAiDéfinition 2.En vertu de la convention 0 × µA = 0 si µA = +, la sommemPi=1aiµAi a toujours un sensdans 0, + puisque chaque terme aiµAi appartient à 0, +.On dit qu’une fonction étagée et positive φ est µ-intégrable siZΩφdµ +.Exemple 10.On prend Ω, T = R, BR et φ = 1R. Il est clair que φ E+X, T .• Pour µ = λ, on aZRφdλ = λR = +.• Pour µ = δ0, on aZRφdδ0 = δ0R = 1Soit φ E+Ω, T etmXi=1ai1Ai sa représentation canonique. Soit A une partie mesurable.On définit l’intégrale de φ sur A :ZAφdµ =ZΩφ1Adµ =mXi=1aiµAi A.Définition 3.Le calcul de l’intégrale d’une fonction étagée à partir de la définition 2 nécessite la dé-composition canonique. Le lemme suivant nous permet d’alléger le recours systématique à cettedécomposition.

Page 36 : Chapitre 3. Intégration de fonctions étagées positives36Soit φ une fonction étagée positive telle que φ =pXi=1ti1Ci où Ci sont des ensemblesmesurables et disjoints deux à deux et ti sont des constantes pas forcément distinctesalorsZΩφdµ =pXi=1tiµCi.Lemme 1.Soient φ E+Ω, T , ψ E+Ω, T et r 0, +.♠::::::::::::::Homogénéité :ZΩrφdµ = rZΩφdµ.♠:::::::::::Additivité :ZΩφ + ψdµ =ZΩφdµ +ZΩψdµ.♠::::::::::::Croissance : φ ψ ⇒ZΩφdµ ZΩψdµ.Propriétés 3.Démonstration .1. Soient φ E+Ω, T etmXi=1ai1Ai sa représentation canonique. Si r = 0,ZΩ0 × φdµ = 0 = 0 ×ZΩφdµ.Il convient de remarquer que siZΩφdµ = +alors 0×ZΩφdµ = 0 en vertu de la convention0 × µA = 0 si µA = +.Si r 0. La suite ai1im est strictement croissante donc la suite rai1im est strictementcroissante car r est strictement positif.mXi=1rai1Ai est donc la représentation canonique de rφdonc rφ est une fonction étagée positive. D’après la définition de l’intégrale d’une fonctionétagée :ZΩrφdµ =mXi=1raiµAi = rmXi=1aiµAi = rZΩφdµ.2. Soient φ, ψ E+Ω, T 2 telles que φ =nXi=1ai1Ai et ψ =mXi=1bi1Bi leur représentationcanonique. φ + ψ est une fonction étagée etφ + ψ =nXi=1mXj=1ai + bj 1AiBj,

Page 37 : 373.4. Intégration de fonctions mesurables positivesAi Bji,j sont disjoints deux à deux. Notons que ai + bj ne sont pas forcément distinctsdeux à deux.D’après le lemmeZΩφ + ψ dµ=nXi=1mXj=1ai + bj µ Ai Bj=nXi=1aimXj=1µ Ai Bj +mXj=1bjnXi=1µ Ai Bj=nXi=1aiµ Ai +mXj=1bjµ BjEn effet,mXj=1µ Ai Bj = µmj=1Ai Bj= µAi mj=1Bjet commemj=1Bj = ΩalorsmXj=1µ Ai Bj = µAi. De la même façon, on obtientnXi=1µ Ai Bj = µBj.PuisqueZΩφdµ =nXi=1aiµ Ai etZΩψdµ =mXj=1bjµ Bj, on en déduit l’égalité recherchée.3. Si φ E+Ω, T , ψ E+Ω, T et φ ψ alors ψ φ E+Ω, T . Remarquons queψ = ψ φ + φ.Par additivité, on peut écrireZΩψdµ =ZΩψ φ dµ +ZΩφdµ. PuisqueZΩψ φ dµ 0alorsZΩψdµ ZΩφdµ 0,soitZΩφdµ ZΩψdµ.Si φnnN est une suite croissante de fonctions étagées positives qui tend µ-p.p vers unefonction étagée φ, alors la suiteZΩφndµnNtend versZΩφdµ :limn→+ZΩφndµ=ZΩlimn→+φndµ =ZΩφdµ.Proposition 9.3.4Intégration de fonctions mesurables positivesSoit Ω, T un espace mesurable. On note

Page 38 : Chapitre 3. Intégration de fonctions étagées positives38L+Ω, T =f : Ω→0, +,T , BR+-mesurables.Le théorème suivant nous permettra de faire le lien entre les fonctions étagées positives et lesfonctions mesurables positives. Il sera d’une grande utilité dans la démonstration de beaucoup depropriétés dans les exercices.Si f L+Ω, T , il existe une suite croissante φnn dans E+Ω, T telle que φnnconverge simplement vers f sur Ω. Si de plus, f est bornée, alors φnn converge unifor-mément vers f sur Ω.Théorème 1.Démonstration .Pour n et k dans N, on poseAn,k =x Ω,k2n fx k + 12net An = x Ω, fx n .On considère φn = nXk=0k2n 1An,k!+ n1An.À n fixé :• Si fx n alors φnx = n.• Sinon il existe k 0, · · · , n2n, fx k2n , k + 12n⇒φnx = k2n .Montrons que φn φn+1 n N.⇝Si x An,k, φnx = k2n , calculons φn+1x.fx k2n , k + 12n= 2k2n+1 , 2k + 12n+12k + 12n+1 , 2k + 22n+1φn+1x =2k2n+1 = k2nsi fx 2k2n+1 , 2k + 12n+12k + 12n+1= k2n +12n+1si fx 2k + 12n+1 , 2k + 22n+1donc φn+1x φnx.⇝Si x An alors φnx = n et φn+1x =n, n +12n+1 , n + 12n , . . .Donc φn+1 nzφn.Soit x Ω, alorsou bien fx = +,n N, x An ⇒φnx = n →+lorsque n →+et donc fx =limn→+φnx

Page 39 : 393.4. Intégration de fonctions mesurables positivesou bien fx +, il existe n0 N tel que fx n0.n n0,x An,k, φnx fx 12n →0,lorsque n →+donc φnn converge simplement vers f sur Ω.Si f est bornée, il existe n0 N, n n0, fx n0, on se replace dans le deuxièmecas et on a la convergence uniforme de φnn vers f sur Ω.Soit f une fonction de f de L+Ω, T . On appelle intégrale de Lebesgue de f sur Ωparrapport à la mesure µ, et on noteZΩfdµ ouZΩfxdµx, l’élément de 0, + suivantIf = supZφdµ,φ E+Ω, T , φ f.Autrement dit,ZΩfdµ = supZφdµ,φ E+Ω, T , φ f.Plus généralement, si A T , on poseZAfdµ =ZΩf1Adµ.Définition 4.Bien distinguer le fait queZΩfdµ a toujours un sens dans 0, + et le fait queZΩfdµ estfinie, c’est à direZΩfdµ 0, +. D’où la définition suivante :Mise en garde.Soit f L+Ω, T . On dit que f est µ-intégrable sur Ωou simplement intégrable quandil n’y a pas de risque de confusion si l’intégraleZΩfdµ est finie.Définition 5.Exemple 3.La fonction 1R est δ0-intégrable sur R mais n’est pas λ-intégrable sur R.

Page 40 : Chapitre 3. Intégration de fonctions étagées positives403.5Principaux théorèmes d’intégration de fonctions positivesLe développement de la théorie de l’intégration sur L+Ω, T repose sur un important théorèmede convergence des intégrales, propre aux suites croissantes d’éléments de L+Ω, T , qui permetsous un minimum d’hypothèses de commuter "intégration" et "passage à la limite".Soit fnnN une suite croissante de fonctions de L+Ω, T qui tend µ-p.p vers unefonction f, alors1. f L+Ω, T ,2. La suiteZfn dµnNconverge en croissant versZf dµ.Théorème 2 Théorème de convergence monotone ou de Beppo-Levi.Soit AnnN une suite d’ensembles de T , telle que An An+1 pour n N. Alorslimn→+µ An = µ nNAn!.En effet, la fonction indicatrice 1An est mesurable, positive, croissante etlimn→+1An = 1SnAn.D’après le théorème de Beppo-Lévi :limn→+ZΩ1Andµ =ZΩ1SnAndµ.PuisqueZΩ1Andµ = µAn alorslimn→+µ An = µ nAn!.Cas particulier :

Page 41 : 413.5. Principaux théorèmes d’intégration de fonctions positivesSoient f et g deux fonctions mesurables et positives sur Ω. Soient A et B deux ensemblesmesurables. α 0, +.1.ZΩαf dµ = αZΩfdµ Homogénéité positive.2.ZΩf + g dµ =ZΩfdµ +ZΩgdµ Additivité.3. f g =⇒Zfdµ Zgdµ Croissance de l’intégrale.4. A B =⇒ZAfdµ ZBfdµ.5. Soit Aii une famille d’ensembles mesurables et disjoints deux à deux, alorsZSi1Aif dµ =Xi1ZAifdµ.6. Si N est µ-négligeable alorsZNfdµ = 0 etZΩ\Nfdµ =ZΩfdµ.7. f = 0 µ-p.p si et seulement siZΩfdµ = 0.8. Si f L+X, T et siZΩfdµ +, alors x Ω,fx = + est µ-négligeable.Propriétés 4 Propriétés de l’intégrale de fonctions positives.Démonstration .f, g L+Ω, T , donc d’après le théorème 2, il existe φnn et ψnn dansE+Ω, T telles que φn ↗n f et ψn ↗n g.1. αφn ↗n αf⇒ZΩαf dµ =limn→+ZΩαφndµ, et puisque φn E+Ω, T alorslimn→+ZΩαφndµ =limn→+αZΩφndµ = αlimn→+ZΩφndµ = αZΩfdµ;2. φn + ψn ↗n f + g⇒ZΩf + g dµ = limnZΩφn + ψn dµ = limnZΩφndµ +ZΩψndµcar φn, ψn E+Ω, T ⇒ZΩf + g dµ = limnZΩφndµ + limnZΩψndµ =ZΩfdµ +ZΩgdµ

Page 42 : Chapitre 3. Intégration de fonctions étagées positives423. La croissance. Soient f et g deux fonctions mesurables et positives. On aZfdµ = supZφdµ,φ E+Ω, T , φ fZgdµ = supZφdµ,φ E+Ω, T , φ gSi on suppose que f g alors on aZφdµ,φ E+Ω, T , φ fZφdµ,φ E+Ω, T , φ gPar passage au sup, on obtientZfdµ Zgdµ.4. Soient A et B deux ensembles mesurables donc 1A et 1B sont deux fonctions mesurables etpositives. Puisque A B alors 1A 1B. Donc 1Af 1Bf.Par croissance de l’intégrale, on obtientZ1Afdµ Z1Bfdµ. DoncZAfdµ ZBfdµ.5.ZSi1Aif dµ =ZΩf1 Si1Ai dµ. Comme les ensembles Ai sont mesurables et disjoints deux àdeux alors 1 Si1Ai =Xi11Ai. DoncZΩf1 Si1Ai dµ =ZΩXi1f1AidµEt commeZΩXi1f1Aidµ =Xi1ZΩf1Aid’après le lemme de Fatou 3.4 alorsZSi1Aif dµ =Xi1ZΩf1Ai=Xi1ZAif.6. Par la propriété de la croissance, f supΩf ⇒ZNfdµ ZNsupΩfdµ. De plusZNsupΩfdµ = supΩf ×ZNdµ = supΩf × µN.N est µ-négligeable donc µN = 0, ainsi supΩf × µN = 0.

Page 43 : 433.5. Principaux théorèmes d’intégration de fonctions positivesMême si supΩf = +, on a par covnetion +N = 0 si µN = 0.On démontre l’autre égalité en remarquant que f = 1Nf + 1Ω\Nf et en appliquant lapropriété de linéarité.7.• Supposons que f = 0 µ-p.p. Soit A = x Ω, fx 0 = f 10; +. Donc A Tet par hypothèse, A est µ-négligeable. Considérons la fonction g définie sur Ωpargx =+si x A0sinong L+Ω, T , g f donc par croissance,ZΩgdµ ZΩfdµ.En appliquant le théorème de Beppo-Lévi à la suite de fonctions mesurables positive etcroissante n1An,g = limn n1A⇒Zgdµ = limnZn1Adµ = limn nµA = 0.Finalement, deZΩgdµ ZΩfdµ 0 etRgdµ, on déduit queRfdµ = 0.• Supposons queRfdµ = 0. Comme f est T , BR-mesurable, alorsx Ω, fx 0 = f 1 0, + T .D’autre part, on ax Ω, fx 0 =nNx, fx 1nOn pose An =x, fx 1n, donc f 1n1An,n N.D’après la propriété de croissance de l’intégrale,ZΩfdµ ZΩ 1n1Andµ.De plusZ 1n1Andµ = 1nµAn et 0 1nµAn 0, ainsi n N, µAn = 0 doncl’ensemble x Ω, fx 0 est réunion dénombrable d’ensembles µ-négligeables, doncil est µ-négligeable.::::::::::Conclusion. x Ω, fx 0 est µ-négligeable donc f = 0 µ-p.p.8. Soit A = x Ω,fx = +, A T car A = f 1 +.n N, f n1A ⇒n NZΩfdµ nµA ⇒0 µA 1nZΩfdµ n N.ZΩfdµ +donc µA = 0.

Page 44 : Chapitre 3. Intégration de fonctions étagées positives44En l’absence de l’hypothèse de croissance sur la suite de fonctions de L+Ω, T , on a tout de mêmele résultat partiel suivant :Soit fnn une suite de fonctions de L+Ω, T alorsZlim inf fndµ lim infZfndµ.Corollaire 2 Lemme de Fatou.Démonstration .Pour tout x Ω, on note pour p N, gpx = infnp fnx. On alim inf fnx = lim inf fnx = suppN infnp fnx = supp gpx• p N, gp gp+1 et gp 0 donclimp→+gpx = suppNgpx et d’après le théorème de laconvergence monotone, on alimp→+ZΩgpdµ =ZΩlimp→+gpdµ =ZΩlim inf fndµ.3.4• D’autre part, on a pour tout entier p, gp = infnp fn, doncn p,gp fn.Par la propriété de la croissance de l’intégrale, on obtient pour tout entier p et tout entier ntel que n pZgpdµ Zfndµ.Ceci étant vrai pour tout entier n supérieur à l’entier p, on en déduit par passage à la borneinférieure quep N,Zgpdµ infnpZfndµAinsisuppNZgpdµ suppNinfnpZfndµ.3.5Comme gpp est croissante, la propriété de la croissance de l’intégrale nous permet de déduirequeZgpdµpest croissante et quelimp→+Zgpdµ = suppNZgpdµ. De 3.4 et 3.5, on déduitquelimp→+Zgpdµ lim infZfndµ.Les séries de fonctions sont d’utilisation courante, il est utile de donner l’expression du théorèmede la convergence monotone dans ce cas.

Page 45 : 453.5. Principaux théorèmes d’intégration de fonctions positivesSoit fnn0 une suite d’éléments de L+Ω, T . Alors1.ZΩ +Xn=0fn!dµ =+Xn=0ZΩfndµ;2. Si+Xn=0ZΩfndµ +alors il existe un ensemble N mesurable et µ-négligeabletel que+Xn=0fn +sur Ω\N.Théorème 3 intégration d’une série de fonctions de L+Ω, T .En pratique, on utilisera souvent des intégrales par rapport à la mesure de Lebesgue, lesthéorèmes suivants expriment des cas où on peut se ramener à un calcul d’intégrale au sens deRiemann. Les propriétés suivantes seront valables pour des fonctions mesurables positives ou designe quelconque.Soit f : a, b →R une fonction mesurable.1. Si f est Riemann intégrable, alors f est Lebesgue intégrable et les intégrales sontégales, autrement ditZa,bf dλ =Z bafx dx2. Si f est bornée alors f est Riemann intégrable ssiλ x a, b tel que f n’est pas continue en x = 0,autrement dit, si et seulement si l’ensemble des points de discontinuités de f dansa, b est de mesure de Lebesgue nulle.Théorème 4.Soit f : 0, +→R une fonction mesurable et Riemann intégrable sur tout intervalle0, n, n N.f est Lebesgue intégrable sur 0, + ssi limn→Z n0fx dx +.Dans ce cas,Z +0fx dx =Z0,+f dλ.Corollaire 3.

Page 46 : 4 Intégration de fonctions mesurablesDans tout ce chapitre, Ωdésigne un ensemble quelconque non vide, T une tribu de parties deΩet µ une mesure positive sur T . Dans la suite de ce cours, on considère l’espace mesuré Ω, T , µ.Sommaire4.1Intégration de fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .464.2Propriétés de l’intégrale de fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . .484.3Mesures à densité - Théorème de Radon-Nikodym . . . . . . . . . .514.3.1Mesure définie par une densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514.4Espaces Lp et Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544.5Normes sur Lp p 1, + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574.6Espaces L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584.6.1Théorème de Radon Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604.6.2Mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61On présentera les théorèmes fondamentaux d’intégration au sens de Lebesgue de fonctionsmesurables positives ou de signe quelconque. On s’intéressera à la définition de nouvelles mesuresà partir d’autres mesures. Ces mesures ont une grande importance dans l’articulation du cours deprobabilité.4.1Intégration de fonctions réellesOn étend la notion d’intégrale et d’intégrabilité aux fonctions réelles mesurables de signe quel-conque en se basant sur les définitions et les propriétés de fonctions mesurables et positives. SoitΩ, T un espace mesurable. On noteLΩ, T =f : Ω→R, T , B R -mesurables.Une fonction f de Ωdans R est dite µ-intégrable si f est T , BR-mesurable etZf +dµ +etZf dµ +.Définition 1.46

Page 47 : 474.1. Intégration de fonctions réellesSi f est µ-intégrable. On appelle intégrale de f, notéeZfdµ ouZΩfdµ ouZΩfxdµxle nombreZΩf +dµ ZΩf dµ.On note L1RΩ, T , µ ou en abrégé L1 l’ensemble des fonctions µ-intégrables.Définition 2.1. Si f LΩ, T , on a l’équivalence suivantef L1Ω, T , µ ⇐⇒Zf dµ +2. Si f L1Ω, T , µ, alorsZfdµ Zf dµ.Théorème 1.Démonstration .1. ⇝Soit f L1Ω, T , µ, doncZf +dµ +etZf dµ +. Comme f = f + + f alors par la propriété de l’additivité des intégrales de fonctions mesurables et positivesZ f dµ =Zf +dµz++Zf dµz+.Il s’en suit queZ f dµ +.⇝Réciproquement, on a 0 f + f et 0 f f. D’après la propriété de la croissancede l’intégrale,Zf +dµ Zf dµ +etZf dµ Zf dµ +.La fonction f est donc µ-intégrable.2.Zfdµ =Zf +dµ Zf dµ. CommeZf +dµ Zf dµ Zf +dµ +Zf dµ etqueZf +dµ +Zf dµ =Zf dµ alorsZfdµ Zf dµ.

Page 48 : Chapitre 4. Intégration de fonctions mesurables484.2Propriétés de l’intégrale de fonctions réellesSoient f LΩ, T et g L1Ω, T , µ. Si f g µ-p.p alorsf L1Ω, T , µ etZ f dµ Z g dµ.Corollaire 4.Démonstration . Par hypothèse, il existe N T , N est µ-négligeable tel que x Ω\N,fx gx .D’après les propriétés de l’intégrale de fonctions mesurables et positives,ZΩf dµ =ZΩ\Nf dµ =ZΩ1Ω\N f dµ.4.1Par la croissance de l’intégrale de fonctions mesurables et positives,ZΩ1Ω\N f dµ ZΩ1Ω\N g dµ4.2et commeZΩ1Ω\N g dµ =ZΩg dµalors les relations 4.1 et 4.2 impliquent queZΩf dµ ZΩg dµ.Si g L1 alorsZg dµ +⇒Zf dµ +. On en déduit quef L1 etZf dµ Zg dµ.Pour f L1Ω, T , µ et A T , on noteZAfdµ =Z1Afdµ car d’après le corollaire 4, sif L1Ω, T , µ alors 1Af L1Ω, T , µ.Notation.

Page 49 : 494.2. Propriétés de l’intégrale de fonctions réelles1. Soient f et g deux fonctions de L1Ω, T , µ et α R, alorsaZαf dµ = αZfdµ ;bZf + g dµ =Zfdµ +Zgdµ ;c f g ⇒Zfdµ Zgdµ.2. L1Ω, T , µ est un espace vectoriel réel.Théorème 2.Démonstration .1. Si f est µ-intégrable alorsZΩfdµ =ZΩf +dµ ZΩf dµ. Commef = f+ f,f+ = f et f= f +alorsZΩfdµ =ZΩfdµ ZΩf+dµ = ZΩf+dµ ZΩfdµ= ZΩfdµ.a On distingue le cas où α 0 et le cas α 0 puis on applique les propriétés de l’intégralede fonctions mesurables et positives.b On pose f + g = f + g+ f + g= f+ + g+ fg.ZΩf+gdµ =ZΩf+g+dµZΩf+gdµ =ZΩf+dµ+ZΩg+dµZΩfdµ +ZΩgdµLa commutativité nous permet d’écrireZΩf + gdµ =ZΩf+dµ ZΩfdµz=ZΩfdµ+ZΩg+dµ ZΩgdµz=ZΩgdµ.c Comme g = g f z 0+f, on applique la propriété précédente linéarité et on obtientZΩgdµ =ZΩg f dµz0+ZΩfdµ. Le résultat est immédiat.2. Il est aisé de montrer que L1Ω, T , µ est un sous-espace vectoriel de l’espace vectorielLT , BR pour en déduire que L1Ω, T , µ est espace vectoriel réel.

Page 50 : Chapitre 4. Intégration de fonctions mesurables50Si f L1 et si N T est µ-négligeable alorsZNfdµ = 0etZΩ\Nfdµ =ZΩfdµ.Corollaire 5.Soient fnnN une suite de fonctions de LΩ, T et g L1Ω, T , µ. On suppose que• fnnN converge vers f µ-p.p• Pour tout n N, fn g.Alorsf L1Ω, T , µlimn→+Zfndµ =ZfdµThéorème 3 Théorème de la convergence dominée.Soit f LΩ, T . Il existe une suite φnnN dans EΩ, T qui converge simplement versf sur Ω. Si de plus, f est bornée, alors φnnN converge uniformément vers f sur Ω.Théorème 4.Démonstration . f = f + f et d’après le théorème 1 du chapitre 6,• il existe une suite ψn E+Ω, T avec ψn ↗f +,• il existe une suite φn E+Ω, T avec φn ↗f .Posons Φn = ψn φn Φn EΩ, T et x Ωlimn Φnx = f +x f x = fx.Si f est bornée, f + et f sont bornées donc• ψn converge uniformément vers f + ;• φn converge uniformément vers f ;donc Φn converge uniformément vers f + f = f.

Page 51 : 514.3. Mesures à densité - Théorème de Radon-Nikodym4.3Mesures à densité - Théorème de Radon-NikodymL’objectif est de construire des mesures à partir de mesures connues ou de "transporter" unemesure d’un espace à un autre. En particulier surR, B R, nous n’avons construit que la mesurede Lebesgue λ.En théorie de l’intégration, le théorème de Radon-Nykodym est un théorème très important quiaura des répercussions du côté des probabilités notamment en probabilité conditionnelle. Ce théo-rème aura sa place importante en analyse fonctionnelle par rapport à la dualité des espaces Lp.C’est un théorème de décomposition. Étant données deux mesures λ et µ, on va essayer de relierl’une à l’autre par la décomposition :λ = λa + λs.• La mesure λa est une mesure absolument continue par rapport à µ, autrement dit si la mesured’un ensemble mesurable par µ est nulle alors la mesure de cet ensemble par λa est nulle.• La mesure λs est une mesure qu’on appellera mesure étrangère, autrement dit λs charge unensemble qui est disjoint de l’ensemble chargé par µ ce qui veut encore dire que dès qu’unensemble est mesuré par µ alors il est de mesure nulle par λs.4.3.1Mesure définie par une densitéSi f est une fonction positive mesurable, la fonction d’ensemble positive ν : T →R+définie pour tout A T parνA =ZAfdµ =ZΩ1Afdµ.définit une nouvelle mesure sur Ω, T . La fonction f s’appelle la densité de ν par rapportà µ, et la mesure ν est aussi notée ν = f • µ. On note également f = dνdµ.Proposition 10.Démonstration .ν est une fonction d’ensembles positive.1. ν =Zfdµ =Z1Afdµ = 0.2. SoitAnnN une famille d’ensembles mesurables et disjoints deux à deux.ν nNAn=ZΩ1 SnNAnfdµ =ZΩ XnN1Anfdµ.4.3Puisque la fonction 1Anf est mesurable et positive alors d’après le théorème d’intégration

Page 52 : Chapitre 4. Intégration de fonctions mesurables52d’une série de fonctions mesurables positives, on peut écrireZΩ XnN1Anfdµ =XnN ZΩ1Anfdµ.4.4Des égalités 4.3 et 4.4, on déduitν SnNAn=XnNνAn.ν définit donc bien une mesure sur Ω, T .Remarque 3.1. Si f1 = f2 µp.p alors A T ,ZAf1dµ =ZAf2dµ ainsi ν est définie par une classed’équivalence de densités, égales µp.p.2. Si f est µ-intégrable, on peut de cette façon engendrer une probabilité surΩ, Aen écrivant :A A,P A =ZAfdµZΩfdµ.Exemple 1.1. La mesure sur R de densité gx = θeθx10;+x s’appelle la loi de probabilitéexponentielle de paramètre θ : c’est une mesure de probabilité une mesure de massetotale égale à 1 puisqueZ +0θeθxdx = 1. Plus généralement, toute mesure sur R dedensité g vérifiantZ +gxdx = 1 est une mesure de probabilité.2. On considère des mesures définies par des densités par rapport à la mesure de LebesguesurR, B R, comme :La densité de Cauchy:fx=1π 1 + x2,La densité de Gauss:fx=12π ex22 ,La densité exponentielle:fx=λeλx1R+x.

Page 53 : 534.3. Mesures à densité - Théorème de Radon-NikodymSoient µ et ν deux mesures sur l’espace mesurable Ω, T . On dit que :1. ν est absolument continue par rapport à µ et on note ν µ si :A T ,µA = 0 ⇒νA = 0.2. ν est étrangère à µ et on note νµ s’il existe A T tel que µ A = 0 et ν Ac = 0.Définition 3.Soit f : Ω, T →R, B R. La mesure ν de densité f par rapport à la mesure µ estabsolument continue par rapport à µ.Théorème 5.Démonstration . Soit A T tel que µ A = 0. D’après les propriétés de l’intégrale de fonctionspositives,ZAfdµ = 0Ainsi ν A = 0.Soient f : Ω, T →R, B Rune fonction mesurable et positive et ν une mesure dedensité f par rapport à µ. Soit g : Ω, T →R, B Rune fonction mesurable ; on aalors la propriété suivante :ZΩgdν =ZΩgfdµ.g est ν-intégrable si et seulement si gf est µ-intégrable.Théorème 6.Démonstration .g et fg sont mesurables donc leur intégrales existent. On distingue 4 cas :1. Si g = 1A, A T ,ZΩgdν =ZΩ1Adν = νA =ZAfdµ =ZΩ1Afdµ =ZΩfgdµ.DoncZΩgdν +si et seulement siZΩfgdµ +.2. Si g E+ alors g =Xai1Ai, Ai T .ZΩgdν =Xaiν Ai =Xai ZAifdµ=ZΩXai1Aifdµ =ZΩfgdµ.

Page 54 : Chapitre 4. Intégration de fonctions mesurables54DoncZΩgdν +si et seulement siZΩfgdµ +.3. Si g M+ alors g est une limite simple d’une suite croissante de fonctions mesurables etpositives. g =limn→+↑gn, gn E+.ZΩgdν =ZΩlimn→+↑gndν =limn→+↑ZΩgndνzBeppo-Levi=limn→+↑ZΩfgndµ =ZΩlimn→+↑fgndνzBeppo-Levi=ZΩfgdµ.DoncZΩgdν +si et seulement siZΩfgdµ +.4. Si g = g+ g.g est νintégrable⇔ZΩg+dν+ZΩgdν+⇔ZΩfg+dµ+ZΩfgdµ+⇔fg est µintégrableetZΩgdν =ZΩg+dν ZΩgdν =ZΩfg+dµ ZΩfgdµ =ZΩfgdµ.4.4Espaces Lp et LpSoit p 1, +, on note Lp X, T , µ en abrégé Lp, l’ensemble des fonctions f L X, T tel que fp L1 X, T , µ :f Lp X, T , µ ⇔f L X, T etZXfp dµ +.On dit que f Lp X, T , µ est de puissance pième-intégrable.Définition 1.Remarque 4.1. La fonction fp désigne la fonction x 7→fxp ce n’est pas la composée.2. Pour p = 1, on obtient les fonctions µ-intégrables.Pour p = 2, on obtient les fonctions de carré intégrables.3. Si f L X, T alors fp L X, T .

Page 55 : 554.4. Espaces Lp et LpPropriété 4.4.1.Lp X, T , µ est un espace vectoriel.Démonstration . On montre que Lp X, T , µ est un sous-espace vectoriel de L X, T .• Lp X, T , µ L X, T par définition ;• 0 Lp donc Lp ̸= ;• soient f Lp et α R donc αf L X, T etZαfp dµ =Z α p fp dµ = α pZfp dµz+car fLp +donc αf Lp ;• Soit f, g Lp × Lp alors f + g L X, T .x X, fx + gx 2 max fx , gx⇒fx + gxp2pmax fx , gxp⇒Zf + g dµ2pZsupfp , gp dµ2pZ fp + gp dµ2pZfp dµ +Zgp dµNotationN = f LX, T,f = 0 µ -p.p .N est un espace vectoriel réel et pour tout p 1, +, N Lp.Proposition 11.Remarque 5. Pour f LX, T et g LX, T, f g N ⇔f = g µ p.p.LpX, T, µ ou en abrégé Lp est l’espace vectoriel quotient de LpX, T, µ par N. C’està dire l’ensemble des classes d’équivalence d’éléments de Lp par la relation f = g µ-p.p.Définition 2.

Page 56 : Chapitre 4. Intégration de fonctions mesurables56Remarque 6.Bien que ses éléments soient des classes d’équivalence des fonctions. On al’habitude de dire qu’un élément de LpX, T, µ est une fonction, bien que strictement il s’agissed’une classe de fonctions.f Lp X, T , µ ⇔g L X, T , µf = g µp.pZXgp dµ +.Exemple 11.1. On considère l’espace probabilisé X, P X , P. La loi binomiale Bn, p, p 0, 1, mo-délise le nombre de succès dans une répétition indépendante de n expériences aléatoiresidentiques où la probabilité de succès de chaque expérience est égale à p.P la mesure de probabilité telle que si k 0, 1, . . . , nPk= P nombre de sucès = k = Cknpk1 pnk.• Si X = 0, 1, . . . , n alors le plus gros ensemble P-négligeable est l’ensemble vide.• Si X = N et si P k = 0 pour k n alors N = n + 1, . . . est le plus grosensemble P-négligeable.2. Il n’existe pas toujours de plus gros ensemble µ-négligeable. Pour la mesure de Lebesguesur R, il n’en existe pas.En effet, supposons par l’absurde que N est le plus gros λ-négligeable. On peut diredans ce cas que N est mesurable sinon il est contenu strictement dans un mesurable demesure égale à 0 ce qui contredit l’hypothèse que N est le plus gros négligeable.On sait que λ R = +donc N R. Il existe x R avec x /N. Soit N′ = N x.N′ B R et λN′ = λN + λ x = 0 donc N′ est λ-négligeable et N′ N.

Page 57 : 574.5. Normes sur Lp p 1, +4.5Normes sur Lp p 1, +Notations1. Pour f LX, T et p 1, +, on noteNpf =Zfxp µ dx 1p.2. Pour ef Lp et p 1, +, on noteefp = Npf.Remarque 7. Si f LX, T alorsf Lp ⇔Npf +.Soient p et q dans 1, +, on dit que p et q sont conjugués si 1p + 1q = 1. On dit alorsque q est l’exposant conjugué de p il est unique.Définition 3.Remarque 8. On convient que 1 et +sont conjugués.Soient a et b deux réels strictement positifs, p et q conjugués dans 1, +. Alors ab 1pap + 1qbq.Lemme 2 Inégalité de Young.Soient p et q conjugués dans 1, +. Soient f Lp et g Lq alorsN1f × g Npf × Nqgetf × g L1.Lemme 3 Inégalité de Hölder.Remarque 9. Si p = q = 2, on obtient l’inégalité de Cauchy-Schwartz.

Page 58 : Chapitre 4. Intégration de fonctions mesurables58Soient p dans 1, +, f Lp et g Lp alorsNpf + g Npf + Npg.Lemme 4 Inégalité de Minkowski.Théorème 4.5.1. Pour p 1, +, .p est une norme sur Lp.Pour p 1, +, Lp, .p est un espace de Banach.Théorème 5 Fischer-Riesz.4.6Espaces LUne fonction f de LX, T est dite essentiellement bornée s’il existe r 0 tel que f rµ-p.p.On note LX, T, µ l’ensemble des fonctions essentiellement bornées de LX, T.Définition 4.1. Lest un espace vectoriel réel.2. N L.Proposition 12.1. LX, T, µ est l’espace vectoriel quotient de LX, T, µ par N.2. Si f LX, T,Nf = inf r 0 / f r µ-p.p3. Si ef Lalors ef= Nf.Définition 5.ConséquenceSi f LX, T,

Page 59 : 594.6. Espaces Lf LX, T ⇔Nf +.1. .est une norme sur L.2. L, . est complet.3. Inégalité de Hölder : pour 1 et +: si f L1 et g Lalors fg est µ-intégrableetN1f × g N1f × Ng.Théorème 6.Si µX +et 1 p1 p2 +alorsLLp2 Lp1 L1.Proposition 13 Relations entre les Lp.Démonstration .• LLp pour p fini, en effet,f L⇒f Nf µ p.p⇒fp Nfpµ p.p ⇒Zfpdµ Nfp µX +µ p.pDonc f Lp.• Si p1 p2. Soit f Lp2. On distingue deux cas :– f 1 doncfp1 1 ⇒Zfp1dµ Z1dµ z =µX ⇒f Lp1 ⇒Lp2 Lp1.– f 1 doncfp1 fp2 ⇒Zfp1dµ Zfp2dµ ⇒f Lp1 ⇒Lp2 Lp1.

Page 60 : Chapitre 4. Intégration de fonctions mesurables604.6.1Théorème de Radon NikodymSur un espace probabilisé Ω, A, P, on considère B une sous-tribu de A. On veut définir, àpartir d’une variable aléatoire réelle X L1Ω, A, P, une autre variable aléatoire réelle qui va"oublier" tout se qui se passe en dehors de B.L’espérance conditionnelle sert à modéliser la réponse à la question suivante : si X est unevariable aléatoire liée à une certaine expérience, que sait-on d’elle si l’on n’a pas toute l’informationdonnée par la tribu A des événements, mais seulement une information partielle donnée par unesous-tribu B.En pratique, il est fréquent de travailler surR, B R,Rn, Bn RetN, P Nmunis deslois de probabilités qui seront dominées par λ, mesure de Lebesgue sur R, λn, mesure de Lebesguesur Rn et µ, mesure discrète de comptage sur N. Ces lois admettront donc des densités par rapportà λ, λn et µ.Les théorèmes suivants énoncent des conditions générales d’existence de densités.Soit Ω, T un espace mesurable, µ : T →0, + une mesure positive, on dit que µ estσ-finie, si1. il existe une suite AnnN, An T pour tout entier n, telle que SnNAn = Ω,2. µAn +, pour tout n N.Définition 4.• Une mesure σ-finie peut être de masse totale infinie, par exemple la mesure de Lebesgue.• La mesure de Lebesgue sur R et la mesure de comptage sur N sont σ-finies.Mise en garde.Soient µ et ν deux mesures σfinies sur Ω, T . Il existe alors un unique couple de mesuresσfinies µa, µs sur Ω, T telles que1. µ = µa + µs,2. µa ν et µs ν.De plus, il existe une fonction mesurable f : Ω→R+ telle queA T ,µa A =ZAfdνet la fonction f est unique à un ensemble de νmesure nulle près.Théorème 7 Théorème de Radon-Nikodym, Lebesgue-Nikodym.

Page 61 : 614.6. Espaces L4.6.2Mesure imageSoient Ω, T , µ un espace mesuré,Ω′, Aun espace mesurable, et T : Ω, T →Ω′, Aune application mesurable. On appelle mesure image de µ par T, la mesure µT définiesurΩ′, Apar :B A,µTB = µT1 B= µ ◦T1 B .Définition 5.Exemple 2. Soient Ω, A, P un espace probabilisé etR, B Rl’espace mesurable desboréliens. Soit X une variable aléatoire de Ω, A, P dansR, B R. On définira l’image parX de P par :b R,PX, b= PX1, b= PX , b.On retrouve ici la notion de la fonction de répartition de X.Soient Ω, T , µ un espace mesuré,Ω′, Aun espace mesurable, et T : Ω, T →Ω′, Aune application mesurable. µT la mesure image de µ par T définie surΩ′, A. Soitf :Ω′, A→R, B Rune fonction mesurable. Alorsf est µTintégrable si et seulement si l’application mesurable f ◦T est µintégrableet on aZΩ′ fdµT =ZΩf ◦Tdµ.Théorème 8 Théorème de transfert.

Page 62 : 5 Produit de mesuresSoient A et B deux ensembles mesurables respectivement dans deux espaces mesurésΩ1, T1, µ et Ω2, T2, ν. On construit intuitivement la mesure de A × B égale à µA × νB. Lathéorie de la mesure nous donne ce résultat. Le théorème de Fubini nous permettra d’intégrerpar rapport à une mesure produit et facilitera le calcul des intégrales multiples.Sommaire5.1Produit de tribus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625.2Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .645.3Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .655.1Produit de tribusOn appelle pavé mesurable tout ensemble A1 × A2 avec Ai Ti, i 1, 2.Définition 8.Remarque 10. Le complémentaire d’un pavé peut s’écrire comme une union finie de pavés :Ω1 × Ω2 \ A1 × A2 = Ω1 \ A1 × Ω2 \ A2! Ω1 \ A1 × Ω2! Ω1 × Ω2 \ A2!.Une union finie de pavés mesurables est égale à une union finie de pavés mesurablesdisjoints.Propriété 14.On appelle tribu produit, T1 T2, de T1 par T2 la tribu de parties de Ω1 × Ω2 engendréepar les pavés mesurables de Ω1 × Ω2 : T1 T2 := σA1 × A2;A1 T1,A2 T2Définition 9.Remarque 11.1. La famille des pavés mesurables n’est pas elle même une tribu en général. Elle n’est stable nipar réunion finie ni par complémentaire.62

Page 63 : 635.1. Produit de tribus2. Le produit de deux tribus n’est pas commutatif. La tribu T1 T2 n’est pas en général égaleà T2 T1, tout simplement parce que le produit cartésien n’est pas commutatif : Ω1 × Ω2 ̸=Ω2 × Ω1. Par conséquent le produit de deux mesures que nous allons définir sur T1 T2 nesera pas non plus commutatitif.Conséquence : BR2= B R B R. Par récurrence, on peut démontrer à partir du résultatprécédent que pour tout n NB Rn = B R . . . B Rzn fois.1. Tout ouvert de R2 est réunion dénombrable de pavés ouverts.2. BR2= B R B R.Propriété 15.Soit Y, F un espace mesurable. On considère pour i = 1, 2 la projection canonique deΩ1 × Ω2 sur Ωi,πi:Ω1 × Ω2→Ωix1, x27→xiLa fonction g : Y →Ω1 × Ω2 est F, T1 T2-mesurable si et seulement si i 1, 2,πi ◦g est F, Ti-mesurable.Proposition 1.Si A T1 T2 et si x1 Ω1, on appelle coupe de A par rapport à x1, notée Ax1,l’ensemblex2 Ω2,x1, x2 A .On a Ax1 = π2 A x1 × Ω2.Définition 10.Soient Ω1, T1, Ω2, T2 et Ω3, T3 trois espaces mesurables.1. Si f : Ω1 × Ω2 →Ω3 est T1 T2, T3-mesurable, alors↬x2 Ω2,x1 7→fx1, x2 est T1, T3 mesurable.↬x1 Ω1,x2 7→fx1, x2 est T2, T3 mesurable.2. Si A T1 T2 alors Ax1 T2 pour tout x1 Ω1.Proposition 2.

Page 64 : Chapitre 5. Produit de mesures645.2Mesure produitSoit Ω, T , µ un espace mesuré, on dit que µ est σ-finie, si1. il existe une suite AnnN, An T pour tout entier n, telle que SnNAn = Ω,2. µAn +, pour tout n N.Définition 11.Remarque 12.• Une mesure σ-finie peut être de masse totale infinie, par exemple la mesure de Lebesgue.• La mesure de Lebesgue sur R et la mesure de comptage sur N sont σ-finies.Soient Ω1, T1, µ1 et Ω2, T2, µ2 deux espaces mesurés et µ1 et µ2 σ-finies alors il existeune mesure unique µ sur T1 T2 telle que :A1 T1, A2 T2,µ A1 × A2 = µ1 A1 × µ2 A2 .• µ est une mesure σ-finie• x1 7→µ2 Ax1 est T1-mesurable pour tout A T1 T2• µA =ZΩ1µ2 Ax1 dµ1x1.µ est la mesure produit de µ1 par µ2 et on la note µ1 µ2.Théorème 7.Remarque 13.1. Si on a trois espaces mesurés Ωi, Ti, µi, i 1, 2, 3 avec µi σ-finies alors on a l’associativitédu produit : µ1 µ2 µ3 = µ1 µ2 µ3 . Comme on avait T1 T2T3 = T1 T2 T3,on peut donc définir la mesure sur T1 T2 T3 comme l’unique mesure µ sur ce produit detribus telle queµ A1 × A2 × A3 = µA1 × µA2 × µA3avecAi Ti,i 1, 2, 3 .Idem avec n facteurs n N par récurrence.2. La mesure de Lebesgue sur R2 est le produit des mesures de Lebesgue sur R, BR. et lamesure de Lebesgue sur Rn n N est le produit des mesures de Lebesgue sur chaquefacteur.

Page 65 : 655.3. Théorème de Fubini5.3Théorème de FubiniDans la suite, on suppose que Ω1, T1, µ1 et Ω2, T2, µ2 deux espaces mesurés et µ1 et µ2σ-finies et µ = µ1 µ2. L’intégration d’une fonction numérique définie sur T1 T2 par rapport àla mesure µ est précisée par les deux théorèmes ci-dessous.Le premier traite le cas d’une fonction positive, connu sous le nom du théorème de Fubini-Tonelli ; le deuxième traite le cas d’une fonction de signe quelconque, connu sous le nom duthéorème de Fubini.Si f : Ω1 × Ω2 →0, + est T1 T2-mesurable, alors les fonctions φ et ψ définiesrespectivement sur Ω1 et Ω2 parφ : x1 7→ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2etψ : x2 7→ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1sont mesurables. etZΩ1×Ω2fdµ=ZΩ1ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2dµ1 x1=ZΩ2ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1dµ2 x2 .Théorème 8 Théorème de Fubini-Tonelli.

Page 66 : Chapitre 5. Produit de mesures66Si f : Ω1 × Ω2 →R est µ-intégrable, alors1. Pour presque tout x1 Ω1, la fonction x2 7→fx1, x2 est intégrable sur Ω2 et lafonction φ définie presque partout sur Ω1 parφ : x1 7→ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2est µ1-intégrable sur Ω1.2. Pour presque tout x2 Ω2, la fonction x1 7→fx1, x2 est intégrable sur Ω1 et lafonction ψ définie presque partout sur Ω2 parψ : x2 7→ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1est µ2-intégrable sur Ω2.3.ZΩ1×Ω2fdµ=ZΩ1ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2dµ1 x1=ZΩ2ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1dµ2 x2 .Théorème 9 Théorème de Fubini.Si l’une des trois intégrales suivantesI1=ZΩ1×Ω2fdµI2=ZΩ1ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2dµ1 x1I3=ZΩ2ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1dµ2 x2est finie alors il en est de même pour les deux autres, f est intégrable etZΩ1ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2dµ1 x1 =ZΩ2ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1dµ2 x2 .Mode d’emploi :Pour prouver que f est intégrable sur T1 T2, on applique le théorème de Fubini-Tonelli à fqui affirme que I1, I2 et I3 sont égales qu’elles soient finies ou non, puis montrer que I2 ou I3 estfinie. Souvent, l’une d’elles est facile à estimer.

Page 67 : 675.3. Théorème de FubiniMise en garde :Bien distinguer le cas f mesurable positive où les trois intégrales I1, I2 et I3 ont toujours unsens valeur finie ou infinie du cas où f est de signe variable pour lequel les intégralesZΩ1ZΩ2fdµ2dµ1 etZΩ2ZΩ1fdµ1dµ2peuvent ne pas exister, ou bien peuvent exister avec des valeurs finies ou infinies distinctes ouégales, sans que f soit intégrable. Autrement dit, si f est en général mesurable mais pas intégrable,les expressionsZΩ1ZΩ2fdµ2dµ1 etZΩ2ZΩ1fdµ1dµ2peuvent exister mais avoir des valeurs différentes.Fonctions à variables séparéesSi f1 et f2 sont deux fonctions mesurables positives ou intégrables, définies respectivementsur Ω1 et Ω2. On pose fx1, x2 = f1x1 × f2x2. Alors f est T1 T2-mesurable etZΩ1×Ω2fd µ1 × µ2 =ZΩ1f1dµ1 ZΩ2f2dµ2.