Rattrapage 2022 2023 Correction
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Page 1 : PréIng2 — CY Tech19 juin 2023Physique moderneRattrapagedurée : 1h30 2h en cas de tiers-tempsAucune sortie avant 1h d’épreuveInstructions à lire avant de commencerSont interdits :— les documents;— tous les objets électroniques calculatrice, téléphone, montre connectée, etc.;— les déplacements et les échanges.Consignes :1. vérifiez que le sujet est composé de 3 pages;2. indiquez le nombre total de pages de votre copie;3. numérotez toutes les pages de la copie;4. une attention particulière sera donnée à la qualité de la rédaction;5. en cas d’erreur dans l’énoncé, vous l’indiquerez sur votre copie et continuerez ledevoir.Le barème est donné à titre indicatifDonnées• constante de Planck réduite valeur communiquée aux étudiants :¯h =h2π 1 × 1034 U.S.I U.S.I. : Unité du Système Internationale;• 1 eV 2 × 1019 J;• remarque : valeur fausse donnée par l’énoncé initial ¯h 6 ×1034 U.S.IExercice 1 – Questions de cours 7 points1. Dimension et unité de la constante de Planck1.a Quelle relation pouvez-vous utiliser pour retrouver la dimen-sion et l’unité de la constante de Planck? Plusieurs choix sontpossibles.1.b Retrouver la dimension et l’unité de la constante de Planck àpartir de la formule précédente.Page 1/6
Page 2 : 1.c Pourquoi la constante de Planck et la constante de Planckréduite ont la même dimension?1.d Quelle grandeur physique notamment utilisée en mécaniqueclassique a la même dimension que la constante de Planck?2. Effet tunnel2.a Pourquoi ne peut-on pas observer l’effet tunnel pour une par-ticule dans un puits infini de potentiel?2.b Représenter graphiquement une énergie potentielle V en fonc-tion de la position r qui permet d’observer l’effet tunnel plu-sieurs réponses sont possibles.2.c Sur ce même graphique, indiquer un intervalle d’énergie pourlequel l’effet tunnel peut-être observé.Solution 11. Constante de Planck1.a 1 pt nom et formule Relations possibles : Planck-Einstein oude Broglie.1.b 1 pt = 0,5 + 20,25 : dem + dim + unité h = ML2T1. Unitéde h : J · s.1.c 0,5 pt Les deux constantes ne diffèrent que d’un facteur 2πsans dimension.1.d 0,5 pt Au choix : une action, un moment cinétique ou le spin.2. Effet tunnel2.a 2 pt On parle d’effet tunnel lorsqu’une particule a une pro-babilité non nulle de franchir une barrière de potentiel alorsque son énergie totale est inférieure à la "hauteur" de cettebarrière classiquement la particule ne pourrait pas franchircette barrière. Dans le cas d’un puits infini de potentiel, laparticule devrait avoir une énergie infinie pour sortir de cepuits ce qui n’est pas possible.2.b 1 pt2.c 1 ptExercice 2 – Applications directes 7 points1. La longueur d’onde maximale pour observer l’effet photoélec-trique sur un métal est notée λ1.Page 2/6
Page 3 : 1.a Exprimer le travail d’extraction W1 énergie minimale à fournirpour extraire un électron.1.b Si la longueur d’onde de la lumière utilisée est notée λ2 expri-mer l’énergie cinétique maximale des électrons extraits.1.c Parmi les deux longueurs l’onde précédentes λ1 et λ2, la-quelle est la plus grande?2. Sachant que le travail d’extraction du zinc vaut WZn 4 eV, peut-on observer l’effet photoélectrique avec de la lumière visible?3. Après avoir rappelé la relation de de Broglie, exprimer la lon-gueur d’onde de de Broglie d’un atome d’hydrogène dans son étatfondamental d’énergie notée E0.Solution 21. 1.a 1 pt W1 = hc/λ11.b 1 pt : les deux expressionsPar conservation de l’énergie, l’énergie cinétique maximaleKmax d’un tel électron estKmax = E2 W1,avec E2 l’énergie d’un photon de longueur d’onde λ2. Soit aufinal :Kmax = hc 1λ21λ1.1.c 1 pt : rép et justificationL’énergie d’un photon de longueur d’onde λ2 est supérieure àcelle d’un photon de longueur d’onde λ1. D’après la relation dePlanck–Einstein, l’énergie étant inversement proportionnelle àla longueur d’onde, on a : λ1 λ2.2. 2 pt : expression + valeur + spectre + invisibleLa longueur d’onde maximale voir question précédente pourobserver l’effet photoélectrique avec du zinc est λmax = hc/WZn.L’application numérique donne λmax 220 nm ce qui est en de-hors du spectre visible de la lumière dont les longueurs d’ondedans le vide sont dans l’intervalle 400 nm; 800 nm.3. 2 pt D’une part p = ¯hk = h/λ0 et E0 = p22m, soitλ0 =h2mE0.Page 3/6
Page 4 : Exercice 3 – Électron confiné 6 pointsOn considère un électron de masse m et libre de se déplacer uniquementsur un segment de droite de longueur L. Son énergie potentielle V estnulle sur ce segment et son énergie totale E se réduit donc à son énergiecinétique. L’origine du repère est choisie de manière à ce que ce segmentsoit confondu avec l’intervalle 0, L.La partie spatiale de sa fonction d’onde ψx vérifie alors l’équation :¯h22md2ψdx2 + Eψ = 0.11. Résolution de l’équation 11.a Quel nom porte l’équation 1?1.b Montrer que les solutions de cette équation sont de la formeψx = C coskx + S sinkx,avec k une constante à exprimer en fonction des données duproblème. Les constantes C et S seront déterminées dans lasuite.2. Détermination de C2.a On admettra que si l’énergie potentielle de l’électron est infi-nie en dehors du segment intervalle 0, L, sa probabilité deprésence en dehors de ce segment est nulle. Dès lors, quellerelation devra vérifier la fonction d’onde ψ aux bords du seg-ment?2.b En déduire la valeur de C.3. Quantification de l’énergie3.a Montrer que les conditions aux limites trouvées à la question2.a entraînent la quantification de l’énergie.3.b Déterminer ces niveaux d’énergie en fonction des données duproblème.4. À partir de l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde,montrer que S = 2/L. Rappel : 2 sin2x = 1 cos2x.5. Donner une application existante ou à venir du confinementd’une particule dans une boîte.Solution 31. 1.a 0,5 ptPage 4/6
Page 5 : Il s’agit de l’équation de Schrödinger indépendante du tempsdans le cas où l’énergie potentielle est nulle.1.b 1 ptEn posant k2 = 2mE/¯h2, l’équation 1 peut s’écrired2ψdx2 + k2ψ = 0.Le polynôme caractéristique associé à cette EDO2H a deuxracines imaginaires ±ik dans le cas E 0. Les solutions del’équation 1 sont donc bien de la forme demandée.2. 2.a 1 pt avec justificationSi la probabilité de présence de l’électron est nulle en dehorsdu segment, la fonction d’onde associée doit s’annuler sur lesbords en raison de l’interprétation probabiliste de la fonctiond’onde :ψ0 = ψL = 0.2.b 0,5 ptLa solution trouvée et la condition au bord situé à l’abscissex = 0 sont compatibles si C = 0.3. 2 pt3.a Pour que la solution et la condition au bord situé à l’abscissex = L soient compatibles, il faut aussi S sinkL = 0, relationvérifiée :— soit si S = 0, mais alors la fonction d’onde est nulle et laprobabilité de présence de l’électron l’est également il n’ya pas d’électron!— soit si sinkL = 0, relation vérifiée si k ne peut prendreque certaines valeurs :k kn = nπ/L; n N .Puisque k2 = 2mE/¯h2, l’énergie de l’électron est égalementquantifiée.3.b Les niveaux d’énergie sont :En =h28mL2n2,avecn N.Page 5/6
Page 6 : 4. 1 pt : justification intégrale + calculLes réponses aux questions précédentes montrent que les fonctionsd’ondes possibles de l’électron sont de la formeψnx = S sinnπx/L.L’interprétation probabiliste impose que la probabilité de présencede l’électron dans l’ensemble de l’espace "autorisé" ici 0; L soitégale à 1 :ˆ L0ψ2x dx = 1.Le calcul donne S = 2/L.5. 0 pt Applications possibles : q-bit et certains lasers.Page 6/6
