Rattrapage 2023 2024 GIM
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Page 1 : ING1 - GI/GM/DU-CPI/MIMRattrapage Data ExplorationDepartement : MathematiquesDate : 5 fevrier 2024Nombre de pages : 3Duree : 2h2 feuilles manuscrites recto verso et calcultarice autorisees.Exercice 1. -On s’interesse au lien qu’il peut y avoir entre l’esperance de vie en annees et le PIB par habitant enmilliers de dollars en 2017 dans 209 pays donnees du Fonds Monetaires International FMI. Le tableauci-dessous represente certaines valeurs recueillies par pays.PaysEsperance de viePIB/habitantAlbanie77.227.7Algerie74.267.1Samoa americaines73.978.0Andorre82.3644.9Angola38.488.3Anguilla80.7712.2Antigua et Barbuda75.2617.2.........1. Quelle est la population etudiee ? Donner sa taille. Quelles sont les variables etudiees ? Donnerleur type.2.a Quelle forme particuliere du nuage de points entre les deux variables etudiees va nous dirigervers une modelisation par la methode de regression ?b Quelle peut ˆetre l’influence d’une valeur atypique sur la droite de regression ?c Quels risques peut impliquer la suppression d’une valeur atypique unique, en terme d’apparitionde nouvelles valeurs atypiques ?3. On note X le PIB par habitant et Y l’esperance de vie. On dispose des calculs intermediairessuivants :nXi=1xi = 3420 ,nXi=1yi = 14728 ,nXi=1x2i = 126677 ,nXi=1y2i = 1058461 etnXi=1xiyi = 257436.a Determiner les moyennes et les ecarts-types de X et Y ainsi que la covariance entre X et Y.b En deduire le coefficient de correlation entre ces deux variables. Interpreter.c Determiner la droite de regression de l’esperance de vie en fonction du PIB.d Donner une estimation de l’esperance de vie dans un pays ayant un PIB/habitant de 15 milliersde dollars.4. En utilisant le logiciel R sur ces donnees restreintes aux trente pays ayant le plus fort PIB,on a obtenu le resultat suivant :1
Page 2 : a Donner le pourcentage de variance de l’esperance de vie expliquee par le PIB.b Donner une estimation du coefficient de correlation entre l’esperance de vie et le PIB.c Determiner la droite de regression de l’esperance de vie en fonction du PIB.d Pouvez-vous comparer les resultats obtenus avant et apres la selection des pays ? Peut-onfaire confiance aux resultats obtenus sur les 30 pays ?Exercice 2. -On souhaite savoir s’il existe un lien entre l’ˆage du conducteur ou conductrice et le nombre d’accidents.Pour cela on a fait une sondage et on a regroupe les resultats dans le tableau de contingence suivant :Classes d’ˆagenombre d’accidents18-3031-4041-5051-6061-7070Totalaucun7588517867236936914502un seul746251665035338deux accidents312522181510121plus que deux accidents910657239Total87294886581276573850001. On note ni,j l’effectif de la i-eme modalite du nombre d’accidents et la j-eme modalite des classesd’ˆage, et fi,j la frequence correspondante.Determiner les valeurs de n2,1, de n,3 et de f2, en indiquant ce que ces valeurs representent.2. Afin d’avoir une premiere impression du lien eventuel entre ˆage et nombre d’accidents, on dressele tableau suivant :Classes d’ˆagenombre d’accidents18-3031-4041-5051-6061-7070aucun0,8690,8980,9090,8900,9060,936un seul0,0850,0650,0590,0810,0650,047deux accidents0,0360,0260,0250,0220,0200,014plus que deux accidents0,0100,0110,0070,0060,0090,003Indiquer, en justifiant votre reponse, s’il s’agit d’un tableau de frequences, de profils-lignes ou deprofils-colonnes ?3. A quel profil moyen doit-on le comparer ? Calculer ce profil moyen.4. Faites cette comparaison et donner une premiere reponse a la question du lien ou de l’independanceentre ˆage et nombre d’accidents.5. Afin de donner une reponse plus precise, nous construisons le tableau de contingence theoriquesuivant :2
Page 3 : Classes d’ˆagenombre d’accidents18-3031-4041-5051-6061-7070Totalaucun785,1853,6778,8731,1688,8664,54502un seul58,964,158,554,951,749,9338deux accidents21,122,920,919,718,517,9121plus que deux accidents6,87,46,76,36,05,839Total87294886581276573850006. Quelle est l’hypothese qui permet de calculer ces effectifs theoriques ? Donner la formule permettantde calculer la valeur d’une cellule, et appliquer la pour obtenir la valeur de la cellule en gras.7. La distance du khi2 calculee entre les effectifs theoriques et observes a ete calculee et vaut :χ2 = 27.57. Expliquer comment elle est calculee.8. Determiner le nombre de degres de liberte de cette distance et utiliser la table suivante pourconclure le test d’independance.nombre de degres de liberte111213141516Seuil du χ219.6821.0322.3623.6825.0026.30Exercice 3. -On s’interesse ici au lien eventuel entre la duree de chˆomage et la categorie socio-professionnelle.Nous disposons des donnees concernant la duree de chˆomage exprimee en nombre de semaines den1 = 25 cadresCad, n2 = 50 ouvriers qualifiesOQ et n3 = 75 ouvriers non qualifiesONQ.Voici un aper¸cu du fichier de donnees nomme ”chomage.csv” :DureeCategorie2OQ4Cad0Cad11ONQ1OQ......Le resume numerique de la duree de chˆomage global et par categorie est le suivant :CategorieEffectifMoyenneVarianceCad253.921.51OQ507.345.26ONQ756.743.15Total1506.474.961. Donner la formule permettant de calculer la moyenne pour la categorie OQ et la formule de lavariance pour la categrie Cadres.2. Calculer la variance intra-classes.3. Calculer la variance inter-classes sans utiliser le resultat precedent.4. Quelle formule lie les 2 variances precedentes ? Verifer a l’aide de vos 2 calculs precedents cetteformule.5. Calculer le rapport de correlation et donner une reponse a la question posee sur le lien entrecategorie et duree de chˆomage.3
