Rattrapage 2024 2025
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Page 1 : 1ere annee Ingenieurs - MathematiquesappliqueesRattrapage : Mesure et IntegrationDate : la semaine du 17/02/2025L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 2hNombre de pages : 2Telephones portables, calculatrice et tout document sont interdits. Les eleves sontinvites a porter une attention particuliere a la redaction. La reference des questionsdoit obligatoirement ˆetre mentionnee.♣♣♣Exercice 1.On rappelle les deux points suivants :• Un ensemble E est dit discret, si et seulement si, E est fini ou E est denombrable.• Un ensemble E est dit non-discret, si et seulement si, E est infini et non-denombrable.Soit F le sous-ensemble de PR ou PR est l’ensemble des parties de R, defini parF =A R : A est discret ou Ac est discret1. Montrer que R, F est un espace mesurable.2. Pour tout A PR, on poseνA = 0si A est discret1si A est non-discreta Montrer que ν est une mesure positive sur R, F.b Est-ce que ν definit une mesure sur R, PR ? justifier.Exercice 2.Dans cet exercice, λ designe la mesure de Lebesgue sur R, BR.Pour tout n N, on definit la fonction fn : R →R parfnx = en sin2 x1x2 + 1 1R+x,x R1. Montrer que, pour tout n N, fn est borelienne.2. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions fnn.1
Page 2 : 3. Soit unnN la suite definie par : un =ZRfnx dλxa En utilisant le theoreme de la convergence dominee, determiner, en justifiant, la limitede la suite unnN.b Citer et verifier les conditions d’application du theoreme de la convergence monotonepour les suites decroissantes. Determiner ensuite la limite de la suite unnN.Exercice 3. Soit X, T , µ un espace mesure. Soit k Nfixe. Soient α1, α2, ..., αk des reelsstrictement positifs et x1, x2, ..., xk des elements de X, distincts deux a deux. Soit φ : X →R unefonction T /BR-mesurable et positive. On definit l’application m : T →R par :A T ,mA =ZAφdµ +kXi=1αiδxiAou δa est la mesure de Dirac concentree en a, avec a X.On admettra dans toute la suite de l’exercice que, si f : X →R est une fonction mesurable, alorsZXfdδa = fa,a X1. Montrer que m est une mesure positive sur X, T .2. Montrer que si φ est µ-integrable, alors m est finie.3. Soit f : X →R une fonction T /BR-mesurable et positive.a Demontrer, en justifiant avec soin tous les calculs, queZXfdm =ZXfφdµ +kXi=1αifxiAttention, distinguer trois cas :i f est une fonction indicatrice mesurable.ii f est une fonction etagee positive.iii f est une fonction mesurable positive quelconque.b Montrer que la fonction f est m-integrable si et seulement si la fonction fφ est µ-integrable.4. Soit f : X →R une fonction T /BR-mesurable et de signe variable.a Montrer que la fonction f est m-integrable si et seulement si la fonction fφ est µ-integrable.b On suppose que la fonction f est m-integrable. Montrer queZXfdm =ZXfφdµ +kXi=1αifxi2
