TD Espace Prehilbertien
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Page 1 : CyTech Dpt Maths Prépa21Feuille d'exercicesEspace préhilbertien réelExercice 1 - Pour tout x = x1, x2, x3 R3 et y = y1, y2, y3 R3, on pose :ϕx, y = x1 2x2y1 2y2 + x2y2 + x2 + x3y2 + y3Montrer que ϕ est un produit scalaire sur R3.Exercice 2 - Montrer que l'application ϕ suivante est un produit scalaire sur Rx :ϕP, Q =Z 10PxQx dxP, Q RxExercice 3 - Soit n N. Montrer que la forme ϕ suivante est un produit scalaire sur Rnx :ϕP, Q =nXk=0PkQkP, Q RnxExercice 4 - Soit E = C1, 1 , R. Pour tout f, g E, on poseϕf, g =Z 11ftgt1 t2dtMontrer que ϕ dénit un produit scalaire sur E.Exercice 5 - Soit E = C10, 1 , R. Pour tout f, g E, on poseϕf, g = f0g0 +Z 10f ′tg′tdtMontrer que ϕ est un produit scalaire sur E.Exercice 6 - Soit E un R-ev non réduit à 0E, ϕ un produit scalaire sur E, a, b, c R3 et ψ laforme sur E × E dénie par : x, y E :ψx, y = aϕx, x + bϕx, y + cϕy, yDonner une condition nécessaire et susante sur a, b, c pour que ψ soit un produit scalaire sur E.Exercice 7 - Inégalité de SchwarzEn utilisant l'inégalité de Schwarz, démontrer les inégalités ci-dessous et en étudier les cas d'égalité.Pour chaque cas, préciser l'espace préhilbertien E, ⟨. , .⟩ dans lequel on travaille et les vecteurs de Econcernés.1 x1, . . . , xn Rn : x1 + · · · + xn2 nx21 + · · · + x2n.2 x1, . . . , xn R+n : x1 + · · · + xn1x1 + · · · +1xnn2.3 M MnR : trM2 n trM T M.
Page 2 : 24 Pour toute fonction f continue et strictement positive sur a, b, avec a, b R et a b : Z bafxdx! Z ba1fxdx!b a2Exercice 8 - Norme euclidienneSur R2, on dénit les fonctions suivantesx1 = x1 + x2 ;x2 =qx21 + x22x = x1, x2 R21a Vérier que .1 est une norme sur R2.b Montrer que .1 n'est pas une norme euclidienne.2a Vérier que .2 est une norme sur R2.Indication : Pour x, y R2 xés, étudier le discriminant de la fonction polynomiale dedegré 2 dénie pour tout t R parft = x + ty22, t Rb Montrer que .2 est une norme euclidienne et déterminer le produit scalaire associé.Exercice 9 - OrthogonalitéM2R est muni de son produit scalaire usuel :⟨A, B⟩= trAT B ;A, B M3RSoit A =1111et B =10011 Montrer que A B.2 Déterminer le s.e.v. Aet donner sa dimension.Exercice 10 - Famille orthonormale Espace de fonctionsSoit E = C0, 1, R, le R-ev des fonctions continues sur le segment a, b et à valeurs réelles. Soitϕ : E × E →R dénie par :ϕf, g =Z 10ftgt dtf, g E1 Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.2 Considérons la suite de fonctions dénie par :n Nfn : t 0, 1 7→cos2πntMontrer que fnnNest une famille orthogonale. Est-elle orthonormale ?3 On pose gn =2fn. Montrer que la famille gnnNest orthonormale.Rappel. cos a cos b = 12 cosa + b + cosa bExercice 11 - Base orthonormale Espace R4R4 est muni de son produit scalaire usuel. Soitε1 = 121, 1, 1, 1 ; ε2 = 121, 1, 1, 1 ; ε3 = 121, 1, 1, 1
Page 3 : CyTech Dpt Maths Prépa23a Montrer que la famille ε1, ε2, ε3 est orthonormale.b Déterminer les vecteurs ε4 tels que la famille ε1, ε2, ε3, ε4 soit une base orthonormale de R4.Exercice 12 - Base orthogonale Espace de polynômesDéterminer une base orthogonale de R2X pour le produit scalaire⟨P, Q⟩=Z 10PxQx dxP, Q R2XExercice 13 - Base orthonormale Espace de matricesM3R est muni de son produit scalaire usuel :⟨A, B⟩= trAT B ;A, B M3RDéterminer une base orthonormale du s.e.v. F de M3R engendré par les matricesJ =110010001;K =100011001;L =110011001Exercice 14 - Supplémentaire orthogonalConsidérons l'espace euclidien usuel M4,1R, ⟨. , .⟩. SoitU1 =1100;U2 =0011;V1 =1100;V2 =00111 On pose E1 = V ectU1, U2 et E2 = V ectV1, V2. Montrer que E = E1E2.2 La famille U1, U2, V1, V2 est-elle une base orthogonale de M4,1R ?Exercice 15 - Supplémentaire et orthogonalitéSoit E, ⟨. , .⟩ un espace euclidien. Soit E1 et E2 deux s.e.v. supplémentaires dans E. Montrer queE = E1 E2 .
