TD Forme bilineaire
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Page 1 : CyTech Dpt Maths Prépa-21Feuille d'exercicesForme bilinéaireExercice 1 - Forme linéaire sur Rnϕ est une application sur Rn.1 Montrer que ϕ est une forme linéaire sur Rn ssi il existe a1, . . . , an R tels queϕx = a1x1 + · · · + anxn,x = x1, . . . , xn Rn2 Donner la matrice de ϕ relativement aux bases canoniques de Rn et R.3 On suppose que n = 3 et a1 = a2 = a3 = 1. Déterminer l'hyperplan H = Kerϕ.Exercice 2 - Forme linéaire sur R3Déterminer la forme linéaire f dénie sur R3 telle quef1, 1, 1 = 0 ;f2, 0, 1 = 1 ;f1, 2, 3 = 4Donner une base du noyau de f.Exercice 3 - Forme linéaire sur MnR Trace d'une matriceL'application trace est dénie sur MnR parA = aij MnRtrA =nXi=1aii1 Montrer que tr est une forme linéaire sur MnR.2 Montrer que A, B MnR, trAB = trBA.3 Ici n = 2. Soit H = Kertr. Donner la dimension de H et déterminer une base de H.Exercice 4 - Forme bilinéaire antisymétriqueSoit ϕ la forme sur R2 × R2 dénie pour tout x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2 par :ϕx, y = x1y2 x2y11 Montrer que ϕ est anti-symétrique. ϕ est-elle symétrique ?2 Montrer que ϕ est bilinéaire.Exercice 5 - Forme de LorentzSoit c 0 un paramètre réel et ϕ : R4 × R4 →R dénie pour tout x = x1, x2, x3, x4 R4 ety = y1, y2, y3, y4 R4 par :ϕx, y = x1y1 + x2y2 + x3y3 c2x4y41 Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique sur R4.2 ϕ est-elle positive ? dénie ?3 On note B = e1, e2, e3, e4 la base canonique de R4. Donner la matrice de ϕ dans B.
Page 2 : 2Exercice 6 - Déterminer la forme bilinéaire ϕ sur R3 de matrice A dans la base canonique de R3.A =123234345Exercice 7 - Matrice d'une forme bilinéaireConsidérons la forme bilinéaire sur R2 : x = x1, x2, y = y1, y2 R2ϕx, y = 5x1y1 + 7x1y2 + 7x2y1 + 10x2y21 Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique B de R2. ϕ est-elle symétrique ?2 Soit B′ = v1, v2 avec v1 = 3, 2 et v2 = 1, 1.Déterminer la matrice de ϕ dans la base B′. Donner l'expression de ϕ par rapport à B′.Exercice 8 - Matrice d'une forme bilinéaireConsidérons la forme bilinéaire sur R2 : x = x1, x2, y = y1, y2 R2ϕx, y = 2x1y2 + 2x2y11 Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique B de R2. ϕ est-elle antisymétrique ?2 Soit B′ = v1, v2 avec v1 = 1, 1 et v2 = 1, 1.Déterminer la matrice de ϕ dans la base B′. Donner l'expression de ϕ par rapport à B′.Exercice 9 - R3 est rapporté à sa base canonique B = e1, e2, e3. Soit f la forme bilinéaire sur R3dénie par : x = x1, x2, x3 R3 et y = y1, y2, y3 R3 :fx, y = x1y1 + 6x2y2 + 56x3y3 2x1y2 + x2y1 + 7x1y3 + x3y1 18x2y3 + x3y21 Donner la matrice A de f par rapport à la base B.2 Soit :e′1 = e1 ;e′2 = 2e1 + e2 ;e′3 = 3e1 + 2e2 + e3Montrer que B′ = e′1, e′2, e′3 est une base de R3.3 Donner la matrice A′ de f par rapport à B′. Donner l'expression de f par rapport à B′.4 Soit q la forme quadratique associé à f, i.e. :qx = fx, xx R3a Donner l'expression de qx par rapport aux composantes de x dans chacune des bases Bet B′.b f est-elle positive ? dénie ?Exercice 10 - Soit E un R-ev. Montrer queL2,sE × E; R L2,aE × E; R = L2E × E; RExercice 11 - Considérons les formes bilinéaires sur Rn suivantes :1 n = 2 et ϕx, y = x1y1 2x2y2.
Page 3 : CyTech Dpt Maths Prépa-232 n = 3 et ϕx, y = x1y1 x1y2 x2y2 2x2y3 x3y1 2x3y3.3 n = 3 et ϕx, y = x1y1 3x2y2 x3y3.4 n = 3 et ϕx, y = x1y2 2x1y3 + x2y1 3x2y3 + 2x3y1 + 3x3y2.Déterminer la matrice A dans la base canonique de Rn de chacune des f.b. ϕ.A partir de A, ϕ est-elle symétrique ? antisymétrique ?Si ϕ est symétrique, ϕ est-elle positive ? dénie ?Exercice 12 - Forme sur un espace de dimension innieNote : Soit I R un intervalle.L'intégrale sur I, de toute fonction continue et positive sur I, existe toujours. Elle est nie ou innie.1 Soit E = CR, R. On dénit l'application ϕ sur E parϕf =Z +0fxexdxf Eϕ est-elle une forme sur E ?2 Soit E = RX. On dénit l'application ϕ sur E parϕf =Z +0PxexdxP Eϕ est-elle une forme sur E ? Si oui, est-elle linéaire ?
