TD Sujet

Posté le 08/02/2025

Chargé de TD/CM : E. Masnada.

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Page 1 : TD1 1 : Normes, distances et boulesExercice 1 : Normes de RnSoit E = Rn. Pour x = x1, ..., xn Rn, on posex1 =nXi=1xix2 =vuutnXi=1x2ix= max1inxi1. Démontrer que ·1, ·2 et ·sont des normes.Indication : pour ·2, on utilisera l’inégalité de Schwarz admise ici ⟨uv⟩ u2 v2où ⟨uv⟩= Pni=1 uivi avec u = u1, ..., un et v = v1, ..., vn.2. Démontrer que pour a, b 0 :a + b a +b.3. Généralisation : montrer quea1, ..., an 0,vuutnXi=1ai nXi=1ai4. En déduire que pour x, x2 x15. Démontrer quex, xx2 x1 n x6. Les 3 normes sont-elles équivalentes ?7. Représenter, pour R2, la boule fermée unité Ba = 0, 0, r = 1pour chacune de ces normes.1. Les sujets de TD sont en grande partie issus des TD de Jean-Michel Masereel. Deplus les TD de M. Masereel contiennent un plus grand nombre d’exercices, n’hésitez doncpas à vous en procurer les énoncés.1

Page 2 : Exercice 2 : Norme sur RnSoit E = Rn. Soit a1, a2, ..., an R. Soit N une application de E →Rdéﬁnit parx = x1, ..., xn Rn, Nx = a1x1 + a2x2 + ... + anxnDonner une condition nécessaire et suﬃsante sur les ak pour que N soit unenorme sur Rn ?Exercice 3 : Norme sur l’espace des matrices carréesSoit a MnR. Pour a, on déﬁnit les deux applicationsN1 : MnR →Ra →N1a = max1innXj=1aijetN2 : MnR →Ra →N2a =pTrtaa1. Montrer que ces deux applications sont des normes.2. Sont-elles équivalentes ?Exercice 4 : Norme sur l’espace des fonctions continues sur0, 1Soit E l’ensemble des fonctions continues sur 0, 1 →R. On déﬁnit lesapplications suivantes f E :f1 =Z 10fxdxf2 =sZ 10f2xdxf= supx0,1fx1. Montrer que ·1 et ·sont des normes on admettra que ·2 estbien une norme.2. Ces trois normes sont-elles équivalentes ?3. Déduire que E n’est pas un espace de dimension ﬁnie.2

Page 3 : Exercice 5 : Norme sur R2Soient a, b 0. On pose pour X = x, y R2NX = Nx, y =pa2x2 + b2y21. Montrer que Nx, y = NX, avec X = x, y R2, est une normesur R2. utiliser l’inégalité de Schwarz donnée dans l’exercice 1 de ceTD2. Dessiner la boule fermée unité Ba = 0, 0, r = 1cette questionest à traiter si la notion de boule a déjà été déﬁnie en cours.3. Trouver le plus grand réel q et le plus petit réel p tels queq ·1 N p ·2Exercice 6 : Norme sur l’espace des polynômesSoit n un entier naturel non nul et E = RnX espace des polynômes dedegré n. On déﬁnit·: E →RP →P=supkJ0,nKP k0où P k est la dérivée kème de P, etN : E →RP →NP = supxRPx1 + xn1. Montrer que N est bien déﬁnie.2. Montrer que ces deux applications sont des normes.3. Montrer qu’il existe C 0 tel queP E, PCNpExercice 7 : "3ème inégalité triangulaire"Soit E, · un espace vectoriel normé. Montrer que pour x, y E, on ax+ yx y+ x + y3

Page 4 : Exercice 8 : Autre normeSoit l’application N de R2 →R qui à tout x, y R2 associe Nx, y =4x + y.1. N est-elle une norme ?2. Dessiner la boule fermée de centre 0, 0 et de rayon 1. Quelles sontses symétries ?3. En toute généralité quelle est la symétrie d’une boule fermée.Exercice 9 : A propos des distancesDans cet exercice on déﬁnit des applications di de R × R →R. Dans lasuite x, y R.d1 : x, y →d1x, y = x y2d2 : x, y →d2x, y =px yd3 : x, y →d3x, y = x2 y2d4 : x, y →d4x, y = x 2yd5 : x, y →d5x, y =x y1 + x yd6 : x, y →d6x, y = x3 y3Ces applications sont-elles des distances ? Sont-elles associées à des normes ?4

Page 5 : TD2 : Ouverts et fermésExercice 1 : Normes équivalentes et notions d’ouvert et ferméSoit E un espace vectoriel muni de deux normes équivalentes ·1 et ·2.1. Soit B·1a, r = x E/ x a1 r. Montrer qu’il existe r′ telqueB·1a, r B·2a, r′où B·2a, r′ = x E/ x a2 r′.2. Soit B·2a, r′′ = x E/ x a2 r′′. Montrer qu’il existe r′′′tel queB·2a, r′′ B·1a, r′′′où B·1a, r′′′ = x E/ x a1 r′′′.3. En déduire qu’un ouvert de E, ·1 est un ouvert de E, ·2 etréciproquement.4. Même question pour les fermées.Exercice 2 :Soit E, · un espace vectoriel normé.1. Montrer qu’une boule fermée n’est pas un ouvert.2. Montrer qu’une boule ouverte n’est pas un fermé.5

Page 6 : Exercice 3 :Déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts, des fermés, les deuxou aucun des deux.1. A = 0, 12. C = 0, +3. D =0, 124. E = N5. F = x, y R2/ x2 + y2 46. G = x, y R2/ x2 + y2 27. H = x, y R2/ 0 x 1 18. I = x, y R2/ x 1 et y 19. J = x, y R2/ 0 y x et 0 x 3Exercice 4 : Ensemble ouvert et majoréSoit A un ouvert majoré de R, · . Montrer que A ne contient pas sonmajorant.Exercice 5 : Somme d’ensemblesSoit A R et B R. On introduit l’ensembleA + B = x R / a, b A × B, x = a + b1. Montrer que si A ou B est ouvert alors A + B est ouvert.2. La réciproque est-elle vraie ?Exercice 6 : Produit cartésienSoit E, ·E et F, ·F deux espaces vectoriels normés. On note ·E×Fl’application déﬁnie sur E × F parx, yE×F = max xE , yF 1. Montrer que ·E×F est une norme.2. Montrer que si A E et B F sont des ouverts alors A × B est unouvert.3. Montrer que si A E et B F sont des fermés alors A × B est unfermé.6

Page 7 : TD3 : Intérieur et AdhérenceExercice 1 :Soit E, · un espace vectoriel normé. Soient A et B deux ensembles telsqueA B E et B fermé1. Montrer alors que pour x CEBr 0 / Bx, r A = 2. Peut-on alors avoir A = B et si oui sous quelles conditions ?Exercice 2 :Soit E, · un espace vectoriel normé. Soient A et B deux ensembles telsqueB A E et B ouvert1. Montrer alors que pour x Br 0 / Bx, r A2. Peut-on alors avoir◦A = B et si oui sous quelles conditions ?Exercice 3 :Soit E, · un espace vectoriel normé. Déterminer l’intérieur et l’adhérentde1. l’ensemble A qui est la boule fermée de rayon r et de centre a2. l’ensemble A qui est la boule ouverte de rayon r et de centre a7

Page 8 : Exercice 4 :Soit E, · un espace vectoriel normé. Soient A et B deux ensembles de E.Montrer que1. A B = A B2. A B A B3.˚⌢A B =◦A ◦B4.◦A ◦B ˚⌢A BExercice 5 :Déterminer l’adhérent et l’intérieur des ensembles donnés dans l’exercice 3du TD2.8

Page 9 : TD4 : SuitesExercice 1 :Donner un exemple de suite complexe zn = xn + iyn n’ayant aucune valeurd’adhérence dans C mais telle que les suite xn et yn en aient dans R.Exercice 2 :Soit un et vn deux suites réelles telles que un vn converge vers 0. Montrerque un et vn ont les mêmes valeurs d’adhérences.Exercice 3 :Donner des exemples de suites ayant :1. aucune valeur d’adhérence.2. une unique valeur d’adhérence.3. deux valeurs d’adhérence.4. trois valeurs d’adhérence.5. une unique valeur d’adhérence mais la suite ne converge pas.Exercice 4 :Déterminer si les ensembles suivants sont des ouverts, des fermés, les deuxou aucun des deux. Déterminer également leur adhérence.1. A = 0, 12. C = 0, +3. D =0, 124. E = N5. H = x, y R2/ 0 x 1 1 que fermé6. I = x, y R2/ x 1 et y 17. J = x, y R2/ 0 y x et 0 x 3 que ouvert9

Page 10 : TD5 : Limites et ContinuitésExercice 1 :1. Montrer que si x et y sont des réels alors 2xy x2 + y22. Soit f l’application de A = R2\0, 0 dans R déﬁnie parfx, y = 3x2 + xypx2 + y2a Montrer que pour tout x, y A, on a :fx, y 72 x, y2 avec 72 x, y2 =px2 + y2b En déduire que f admet une limite en 0, 0.Exercice 2 :Etudier les limites en 0, 0 des fonctions suivantes1. fx, y = x + y sin1x2+y2 2. fx, y =1xy3. fx, y = x2y2x2+y24. fx, y = x2+xy+y2x2+y25. fx, y =x2yx2+y26. fx, y =x2y2x2+y27. fx, y = x3y8. fx, y = x+3yx2y29. fx, y = x2+y2x+y10. fx, y =xyx2+y211. fx, y =sinxyx2+y212. fx, y = xy13. fx, y =x2+y21xsinx ,sinx2+siny2x2+y210

Page 11 : Exercice 3 :Soit f la fonction déﬁnie sur R2 parfx, y = 12x2 + y2 1pour x2 + y2 112x2pour x2 + y2 1Montrer que f est continue.Exercice 4 :1. On considère la fonction f1 déﬁnie parf1 : R × R→Rx, y →1 + x2 + y2ysinyDéterminer si f1 admet une limite en 0, 0.2. On note D = x, y R2/x2 y2 ̸= 0. On considère la fonctionf2 : D →Rx, y →1 + x + yx2 y2Déterminer si f2 admet une limite en 0, 0.Exercice 5 :La fonction suivante est-elle continue ?fx, y = 2x2 + y2 1pour x2 + y2 1x2pour x2 + y2 1Exercice 6 :On considère la fonction f déﬁnie parfx, y = yx2 ey/x2pour x ̸= 00pour x = 01. Soit λ un réel et Aλ = x, λx/x R. On note fλ la restriction def à Aλ. Calculer la limite de fλ en 0, 0.2. Soit B = x, x2/x R. On note g la restriction de f à B. Calculerla limite de g en 0, 0.3. Que peut-on dire de la continuité de f en 0, 0.11

Page 12 : Exercice 7 :Pour chacune des fonctions, étudier sa continuité en 0, 0.12

Page 13 : TD6 7 : Limites, Continuités et CompacitéExercice 1 :Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables en 0, 0 sur leur domaine dedéﬁnition D ?1. D = x, y R2/xy 0, fx, y = 1cosxyy2. D = x, y R2/x ̸= y, fx, y = cosxcosyxy3. D = x, y R2/x ̸= ±y, fx, y = sinx2+siny2x2y24. D = R2\0, 0, fx, y =xy2x2+y4Exercice 2 :Etudier les limites en 0, 0 des fonctions suivantes1. fx, y = x+2yx2y22. fx, y =xyxyExercice 3 :Soit E, · un espace vectoriel normé. Montrer que l’application · est1-lipschitzienne de E, · dans R, · .Exercice 4 :Soit E = C00, 1, R muni de · 1 déﬁnie parf1 =Z 10ftdtEtudier la continuité de la forme linéaire φ de E dans R déﬁnie parφf =Z 10tftdt13

Page 14 : Exercice 5 :1. Rappeler la déﬁnition de la continuité uniforme.2. Quelle est la négation de la continuité uniforme.3. Soit a, b deux réels positifs tels que a b. Montrer que la fonctionfx = x2 est uniformément continue sur a, b.4. Montrer que la fonction fx = x2 n’est pas uniformément continuesur R.5. Montrer que la fonction fx = 1/x n’est pas uniformément continuesur 0, 1.6. Montrer que la fonction lnx n’est pas uniformément continue surR+.Exercice 6 :Soit E, · un espace vectoriel normé. Soit l’application f : E →E déﬁnieparfx =xmax1, x1. Dessiner le graphe de f pour R, · .2. Montrer que f est bornée sur E.3. Montrer que f est continue sur E.4. Montrer que f est 2-lipschitzienne sur E.Exercice 7 :Pour chaque sous-ensemble suivant, indiquer si il s’agit de compact ou non.1. A1 = x, y R2/x2 + y4 = 12. A2 = x, y R2/x2 + y5 = 13. A3 = x, y R2/x2 + xy + y2 14. A4 = x, y R2/x2 + 8xy + y2 15. A5 = x, y R2/y2 = x1 2x14

Page 15 : Exercice 8 :Soit K un compact non vide d’un espace vectoriel normé E et f : K →Ktelle quex, y K2, x ̸= y =⇒fx fy x y1. Montrer que f possède au plus un point ﬁxe.2. Justiﬁer qu’il existe c K tel quex K, fx x fc c3. En déduire que f admet un point ﬁxe.15

Page 16 : TD8 : Fonctions de plusieurs variablesExercice 1 :Calculer les dérivées partielles premières des fonctions suivantes :1. fx, y = ex cosy2. fx, y = x2 + y2 cosxy3. fx, y =p1 + x2y2Exercice 2 : Calculs bêtes et méchantsSoit un gaz de molécules. Ce gaz, de volume V , de température T et soumisà la pression P, contient n moles.1. On commence par décrire ce gaz par la loi des gaz parfait : PV = nRToù R est la constance des gaz parfaits. Montrer alors quePVVTTP = 1T PTVT = nR2. Une meilleur approximation des gaz a été proposé à la ﬁn du 19ièmesiècle par Van Der WaalsP + n2aV 2V nb= nRToù a, b sont deux constantes positives. Calculer TP et PV .Exercice 3 :Calculer toutes les dérivées partielles d’ordre 1 sans se préoccuper de leurdomaine de déﬁnition16

Page 17 : Exercice 4 :Soient f et g deux fonctions d’une variable réele à valeurs dans R et dérivablessur R. Pour chacune des fonctions de deux variables Fi suivantes, déterminerles dérivées partielles en fonction des dérivées f′ et g′1. F1x, y = fx + gy2. F2x, y = fxgy3. F3x, y = fxgyExercice 5 :Soit f la fonction de R2 dans R déﬁnie parfx, y =xyx+y,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.11. Justiﬁer que f est continue sur R2. Etudier les dérivées partielles de f en 0, 0.Exercice 6 :Calculer les dérivées partielles de fx, y = minx, y2 avec x, y 0.Exercice 7 :Etudier la continuité des fonctions suivantes ainsi que l’existence et la conti-nuité de leurs dérivées partielles premières17

Page 18 : 1.f1x, y =x+y2x2+y2 ,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.22.f2x, y =x2 + y2 sin1x2+y2 ,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.33.f3x, y =x sin yy sin xx2+y2,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.4Exercice 8 : Interprétation de la diﬀérentielleLe but de cet exercice est de montrer le lien qui existe entre la diﬀérentielled’une fonction et ses variations. Pour cela, nous allons introduire le calculd’incertitude.On considère une résistance R traversée par le courant électrique I. On saitque la puissance dissipée sous forme de chaleur EJ par cette résistance estdonnée parEJ = RI21. Considérons tout d’abord que l’on connait parfaitement la résistanceR mais que l’intensité n’est connue qu’à une incertitude près I oùI est considéré comme très petit devant I. Déterminer l’incertitudeEJ sur EJ. Relier cela à la diﬀérentielle d’une fonction de R →R.2. On considère maintenant que l’on a également une incertitude R surla résistance en plus de l’incertitude I sur l’intensité I. Déterminerl’incertitude sur EJ.Exercice 9 :1. Soit a un réel non nul. Etudier la diﬀérentiabilité au point a, 0 dela fonction f déﬁnie sur R2\0, 0 parfx, y =x2yx2 + y518

Page 19 : 2. Discuter selon la valeur du réel α de la diﬀérentiabilité au point 0, 0degx, y = xαyx2+y,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.6Exercice 10 :Étudier la continuité et la diﬀérentiabilité puis calculer le gradient lorsqu’ilexiste des fonctions suivantes19

Page 20 : TD9 10 :Exercice 1 :1. Soit f : R2 →R une application C1 sur R2. On pose g : R →Rdéﬁnie par gt = f2t, 1+t2. Exprimer g′t en fonction des dérivéespartielles de f.2. Soit fx, y = xy une fonction dépendant des variables x et y qui sontparamétrées par t :xt = costyt = sint7Détemriner g′t où gt = fxt, ytexplicitement puis en utili-sant la relation donnée dans la Prop D1 du cours.3. Soit x1, ..., xn, h1, ..., hn R2n, f C1Rn, R et t R. On posealorsgt = fx1 + th1, ..., xn + thn8Calculer g′tExercice 2 :Soit f une application diﬀérentiable de R2 dans R. Soit la fonction g déﬁniepargu, v = fu2 + v2, uv91. Justiﬁer que g est diﬀérentiable.2. Exprimer les dérivées partielles de g par rapport à u et v en fonctiondes dérivées partielles de f par rapport à x et y.Exercice 3 :Soit f : x, y →fx, y diﬀérentiable et g : ρ, θ →fρ cosθ, ρ sinθ.1. Justiﬁer que g est diﬀérentiable.2. Exprimer les dérivées partielles de g en fonction de celles de f.3. En déduire les dérivées partielles de f en fonction de celles de g.4. Vériﬁer les résultats des deux questions précédentes sur la fonctionfx, y = x2 + y2 + x.20

Page 21 : Exercice 4 :Soit f : R2 →R diﬀérentiable. On suppose que pour t R, x, y R2fx + t, y + t = fx, y10Montrer que x, y R2fxx,y+ fyx,y= 0Exercice 5 :Soit f : R2 →R diﬀérentiable. On suppose que pour t R, x, y R2fxt, yt = fx, y11Montrer que x, y R2xfxx,y+ y fyx,y= 012Exercice 6 :On considère l’application f de R2 dans R2 déﬁnie parfx, y =xp1 + y2 + yp1 + x2; x +p1 + x2y +p1 + y2131. Montrer que f est de classe C1 sur R2.2. Calculer le jacobien de f en tout point x, y R2. Qu’en déduit-onpour f ?Exercice 7 :Soit f une fonction de R2 dans R admettant des dérivées partielles en toutpoint, θ un réel et g : R2 →R2 la fonction déﬁnie pargx, y =x cosθy sinθ ; x sinθ+y cosθ=ux, y ; vx, y141. Montrer que la fonction F = f ◦g admet des dérivées partielles entout point.2. Calculer Fx et Fy en a, b R2 en fonction des dérivées partiellesde f.21

Page 22 : Exercice 8 :On cherche toutes les fonctions f de R2 dans R, C1 sur R2, telles queE : x, y R2, fxx,y+ 2x fyx,y= 015On considère l’application ϕ qui associe à u, v R2 ϕu, v = u, v + u2.1. Montrer que ϕ est bijective de classe C1 sur R2.2. Montrer que ϕ1 est de classe C1 sur R2.3. Que peut-on en déduire pour ϕ ?4. On introduit maintenant la fonction déﬁnie par g = f ◦ϕa Montrer que g est de classe C1 sur R2.b Montrer que f est solution de E si et seulement siguu,v= 0165. En déduire que fx, y = hy x2, où h est C1 sur R, est solutionde E.Exercice 9 :Résoudre les équations aux dérivées partielles du premier ordre suivantesd’inconnue f : U →R à l’aide du changement de variables fourni1. U = R+ × R ; xfx + y fy = 0 ; changement de variables : u, v =x, y/x.2. U = R+ × R ; xfx + y fy =px4 + y4 ; changement de variables :u, v = y/x, x2 + y2.3. U = R+ × R ; xfx y fy = xy2 ; changement de variables : u, v =x, yx.4. U = R+ × R ; xfx + y fy = af ; a R ; changement de variables :coordonnées polaires.Exercice 10 :Soit f: Rn →R une application. Dire si les aﬃrmations suivantes sontvraies ou fausses22

Page 23 : Exercice 11 :On cherche toutes les fonctions de g de R2 dans R vériﬁant, x, y R2gxx,ygyx,y= aoù a est un réel.1. Soit f la fonction déﬁnie sur R2 par fu, v = gu+v2 , vu2. En utili-sant le théorème de composition, montrer quefuu,v= a22. Intégrer cette équation pour en déduire l’expression de f.3. En déduire les solutions de l’équation initiale.Exercice 12 :Déterminer toutes les fonctions f de R2 dans R vériﬁant les équations sui-vantes1. x, y R2, 2 fxx,y fyx,y = 0Indication : On utilisera le changement de variables u = x + y etv = x + 2y.2. x, y R2, x fxx,y + y fyx,y =px2 + y2 sur V = x, y R2/x 0Indication : On passera en coordonnées polaires.23

Page 24 : Exercice 13 :Résoudre sur R2 les équations aux dérivées partielles suivantes24

Page 25 : TD11 12 :Exercice 1 :Déterminer les fonctions f solutions des systèmes suivants1.fx = xy2fy = x2y172.fx =xx2+y2fy =yx2+y2183.fx =xx2+y2fy = yx2+y219Exercice 2 :Pour toutes les fonctions suivantes, calculer l’expression de toutes les dérivéessecondes en précisant les domaines d’existance1. fx, y = x2y + xy2. fx, y = sinx + y + cosx y3. fx, y =x2 + y23/24. fx, y = cos25x + 2y5. fx, y = x2x + y6. fx, y = cosxyExercice 3 :Pour chaque fonction déterminer la dérivée partielle indiquée1.3fx3 : fx, y = x2y4 + 2x4y2.3fx2y : fx, y = exy23.3fzyx : fx, y, z = x5 + 4x4y4z3 + yz24.3fyzy : fx, y, z = exyz5.3fxyz : ux, y, z = lnx + 2y2 + 3z225

Page 26 : Exercice 4 :Vériﬁer le théorème de Schwarz sur les fonctions suivantes1. fx, y = x5y4 3x2y3 + 2x22. fx, y = sin2x cosyExercice 5 :Soit f une application de classe C2 sur un ouvert U R2 à valeurs réelles.On déﬁnit le laplacien de f comme étant l’application déﬁnie sur U parfx, y = 2fx2 + 2fy220Déterminer le laplacien de chacune des fonctions suivantes1. U = R2 : fx, y = x2 y22. U = R2 : fx, y = x2 + y23. U = R2\0, 0 : fx, y = lnpx2 + y24. U = R2\0, 0 : fx, y =xx2+y2Exercice 6 :Soit f la fonction déﬁnie sur R2 parfx, y =xy3x2+y2 ,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.211. Montrer que f est C1 sur R22. Montrer que2fxy et2fyx sont déﬁnies en 0, 0 mais n’ont pas mêmevaleur.3. Que peut-on en déduire ?Exercice 7 :1. Soit f la fonction déﬁnie sur R2 parfx, y =y4x2+y2 ,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.22a Montrer que f est C1 en 0, 026

Page 27 : b Montrer que2fxy et2fyx sont déﬁnies en 0, 0 et ont même va-leur.c Que peut-on en déduire ?2. Mêmes questions pourfx, y = xy2x+y,si x + y ̸= 0.0,sinon.23Exercice 8 :Déterminer la classe exacte des applications suivantes1.fx, y =x2y22x2+y2 ,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.242.fx, y =xy2x2+yx22 ,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.253.fx, y =ex21ey21x2+y2,si x, y ̸= 0, 0.0,sinon.26Exercice 9 :Résoudre les EDP du second d’ordre d’inconnue f : U →R de classe C2 àl’aide du changement de variables fourni1. U = R2 : 2fx2 2fy2 = 0 ; u, v = x + y, x y2. U = R+ × R : x2 2fx2 + 2xy 2fxy + y2 2fy2 = 0 ; u, v = x, y/x3. U = R+ × R+ : x2 2fx2 y2 2fy2 xfx + y fy = 0 ; u, v = xy, y/x4. U = R+ ×R+ : x2 2fx2 y2 2fy2 +xfx y fy = 0 ; u, v = lnx, lny5. U = R+ × R : 2fx2 4x2 2fy2 1xfx = 0 ; u, v = x2 y, x2 + y6. U = R2 : 2fx2 2 2fxy + 2fy2 = 0 ; u, v = x, x + y7. U = R+ × R+ : x2 2fx2 y2 2fy2 = 0 ; u, v = xy, x/y27

Page 28 : Exercice 10 :Déterminer les points critiques et les extrema des fonctions f : R2 →Rsuivantes1. fx, y = x2 + xy + y2 3x 6y2. fx, y = x2 + 2y2 2xy 2y + 53. fx, y = x3 + y34. fx, y = x y2 + x + y35. fx, y = x3 + y3 3xy6. fx, y = xln2x + y2sur le demi-plan 0Exercice 11 :Déterminer les extrema locaux et globaux des applications suivantes.Exercice 12 :28