TD0 Rappels
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - PremièreAnnèeAnalyse 1 - 2023/2024RappelsExercice 1. Montrer les inégalités suivantes.1. x 0, , x + 1x 2.2. x R, y R, xy 12 x2 + y2.3. x R, y R, z R, x2 + y2 + z2 xy + yz + zx.4. x R, 0 x2 + 2x + 4x2 + 2x + 2 3.A faire chez soiExercice 2.1. Démontrer que : x R, y R, xy x + y22.2. Soit f : R →R, x →x2 + 2x + 2x2 + 2x + 3. Sans étudier les variations de f, trouver le minimumde f sur R.Exercice 3. Soient x, y, z trois réels tels que : 0 a x b, d y c 0, 0 e z f.Déterminer un encadrement de :1. 4x 2y2.xyzExercice 4. Calculer le domaine de définition de la fonction x 7→sln xx.Exercice 5. Soient a et x des nombres réels. Supposons que a est non nul et que l’on ax a a. Montrer que x est non nul et que x est de même signe que a.Exercice 6. Résoudre dans R les inéquations suivantes :1. x + 1 0.1.2. x 2 10.3. x x + 1.1
Page 2 : 4. 2x 1 x 1.5. x + 3 1 2.6. x 1x + 2 3.7. x 3 2x + 1 4.8.x2 2x + 3 x 1.Exercice 7. Calculer la valeur de :1.nXi=12.2.nYi=13.3.nXk=12ak+1 3ak + ak1.4.nXk=1k.5.nXk=232k.6. En remarquant que k+12k2 = 2k+1, montrer que :n1Xk=02k+1 =nXk=12k1 = n2.7. Montrer que :nXk=0k + 13 nXk=0k3 = 3nXk=0k2 n + 13n + 22.En déduire Pnk=0 k2.Exercice 8. Calculer les sommes suivantes :1.nXk=15k nk!.2.n1Xk=03k nk!.3.nXk=0k nk!.Exercice 9. Ecrire à l’aide de factorielles les expressions suivantes :1.nYk=1k2.2
Page 3 : 2.nYk=22k + 1.3.n1Yk=3k.Exercice 10. Calculer les produits suivants :1.nYk=03k.2.nYk=0ek.3.nYk=2kk + 2.Pour aller plus loinExercice 11. Soit p N× et n N× tels que p n. Montrer que np + 1!= pp!+ p + 1p!+ · · · + n 1p!.Exercice 12. A partir des formules sinx + y = . . ., cosx + y = . . . et sin2x+cos2x = 1, démontrer les formules suivantes :1. sinx + siny = 2 sinx + y2cosx y2.2. cosx cosy = 2 sinx + y2sinx y2.3. tanx + y = tanx + tany1 tanx tany.4. cosx = 1 t21 + t2 et sinx =2t1+t2, où t = tanx2.Exercice 13. Calculer cos π12, sin π12 et tan π12.Exercice 14. Résoudre les équations suivantes, d’inconnue x R :1. sinx + sin2x = 0.2. cosx =3 sinx.3. tan2x = 3 tanx.3
