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Page 1 : Pré-ING2Semestre 1 - 2022/2023Séries - TDComparaison locale des fonctions réellesExercice 1.Etudier la convergence des suites numériques suivantes, de terme général un :1. un = n + 1 n2. un =1 + 1nn3. un = n elnn4. un = sinn2n5. un = an bnan + bn ,a, b R+2Exercice 2.Donner des équivalents simples lorsque n tend vers +pour les suites numériques suivantes, de termegénéral un :1. un =ln1 + en2 1n2. un =en1 + ennExercice 3.Déterminer un équivalent au voisinage de +des fonctions suivantes :1. f1x =px3 + x5/2 x3/22. f2x =x4 + 1 x4 1x2 + 1 x2 13. f3x =e1/x cos1x1 r1 1x24. f4x =1x x sin1x5. f5x = e1/x e1/x+11
Page 2 : Exercice 4.Soit fx =ln1 + xlnxx lnx.1. Déterminer un équivalent de lnfx en +.2. En déduirelimx→+fx.Exercice 5.Calculer les limites suivantes :1. limx→04 sin3x + x 4cos x 13x2 + ex 12. limx→01 ex sin xex ch x3. limx→1xx 11 x + ln1 + x4.limx→+px + x x5.limx→+xxxxxx6.limx→+cos1xx27. limx→132x x3 x1 x3/48. limx→0xsin xsin xxsin x9. limx→0ax + bx2 1x10. limx→01 cos x1 + 2xx2 x411.limx→+4x + 1 ln1 x + 1x + 212. limx→0 x3 + x3 + xx sinx13. limx→0 exp 1x2exp1x + 12Exercice 6.Comparer les fonctions suivantes au voisinage des points indiqués :1. cosx 1 et sinx au voisinage de 02. x ln x et ln1 + 2x au voisinage de 03. xlnx et ln xx au voisinage de +4. x lnx etx2 + 3x lnx2 sinx au voisinage de +.Exercice 7.Soit f, g : R →R. On suppose quelimx→+fx = +.1. On suppose que g =+of. Montrer que expg =+oexpf.2. Montrer que la réciproque est fausse.3. Application : comparer fx = lnln xxln x et gx = ln xxlnlnx au voisinage de +.2
