TD1 Groupes Correction
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Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAlgebre I - 2022/2023Groupes et Morphismes de Groupes1Lois de composition interneExercice 1Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre reponse.1. La soustraction est un LCI dans Z.2. 0 est l’element neutre de la soustraction dans Z.3. La soustraction dans Z est associative.4. 0 est l’element neutre pour l’addition dans N.5. L’addition est associative dans N.6. L’addition est une LCI dans l’ensemble des nombres entiers pairs.7. L’addition est une LCI dans l’ensemble des nombres entiers impairs.Solution1. Oui. a b Z2. Non car pas neutre a gauche.3. Non car a b c = a b + c = a b c.4. Oui a + 0 = 0 + a = a5. Oui.6. Oui car la somme de deux entiers pairs est paire.7. Non car la somme de deux entiers impairs est paire.Exercice 2Preciser pour chacune des LCI definies ci-dessous si elle est associative, commutative, possede un elementneutre.1. x, y R2, x y =px2 + y22. x, y R2, x y = ln ex + eySolution1. Elle est clairement commutative.Elle est associative :xyz =px2 + y2z =rpx2 + y22+ z2 =px2 + y2 + z2 =rx2 +py2 + z22!= xyzcela provient du fait que x2 + y2 0 .Le seul element neutre qui peut venir a l’esprit est 0, mais il n’est pas neutre pour les nombres negatifs :x 0 =x2 = x ̸= x.Si on n’a pas l’intuition, on peut le chercher : soit e un eventuel element neutre et x R. Alorsx e = x ⇔px2 + e2 = x ⇒x2 + e2 = x2 ⇒e2 = 0Le seul element neutre possible est donc 0 , mais il n’en est pas un.2. Elle est clairement commutative.Elle est associative :x y z = ln ex + ey z = lnelnex+ey + ez= lnex + e¯y + ez= lnex + elney+ez= x y zles fonctions exponentielle et logarithme neperien sont bijections reciproques l’une de l’autre.Si y est l’element neutre alors x y = x ⇔ln ex + ey = x = ln ex ⇔ex + ey = ex ⇔ey = 0.ey = 0 est faut pour tout y R, donc il n’y a pas d’element neutre.
Page 2 : Exercice 3Pour tout x; y 0; 12, on pose :x y = x + y xy1. Montrer que 0; 1; est un magma commutatif et associatif.2. Montrer que 0; 1; possede un element neutre.3. Quels sont les elements inversibles de 0; 1; ?Solution1. Magma : Si 0 ⩽x ⩽1 et 0 ⩽y ⩽1, alors 0 ⩽1 x ⩽1 et 0 ⩽1 y ⩽1.D’ou 0 ⩽1 x1 y = 1 x+ y xy ⩽1.Ainsi 1 ⩽x + y xy ⩽0 et 0 ⩽x + y = xy ⩽1.Commutatif : Evident.Associatif : xyz = x+yzxyz = x+y+zyzxy+zyz = x+y+zxyxzyz+xyz,et x y z = x y + z x yz = x + y xy + z x + y xyz = x + y + z xy xz yz + xyz.2. Pour qu’un element neutre e existe, il doit verifier que pour tout x 0; 1, x e = x = x + e xe. D’ounecessairement, pour tout x, ex 1 = 0. Donc e = 0. On verifie aisement que 0 est bien un elementneutre.3. Deux elements x, y sont inverses l’un de l’autre si et seulement si x y = 0 = x + y xy, c’est-ˆa-direyx 1 = x.Si x = 1, ceci est impossible.Si x ̸= 1, nous avons y =xx 1 ⩽0. Le seul element inversible de 0; 1 est donc 0 .Exercice 4Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et d’un element neutre.Un element de E est dit idempotent si x x = x.1. Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors x y est idempotent.2. Montrer que si x est idempotent et inversible alors x1 est idempotent.Solution1. x y x y = x x y y associative et commute . C’est egal a x y. Donc x y est idempotent.2. Nous savons que si x et y sont inversibles alors x y aussi et l’inverse est y1 x1, en prenant y = x eten utilisant le fait que x x = x, nous avons x1 = x x1 = x1 x1 et l’inverse est bien idempotent.On peut aussi observer que si x x = x en composant a droite par x1, on a x x x1 = x x1 doncx = e donc si x et y sont idempotent et inversibles x = y = e donc x y est idempotent.Exercice 5Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative.Pour tout a de E, on definit les applications ga et da de E dans E : x E, dax = x a et gax = a x.1. Montrer que s’il existe a dans E tel que ga et da soient surjectives, alors E possede un element neutrepour la loi .2. Montrer que si pour tout a de E, les applications ga et da sont surjectives, alors tout element de E possedeun inverse pour la loi .Solution1. Puisque ga et da sont surjective, il existe e et f tels que e a = a = a f.— Montrer que e = f. Toujours par surjectivite, il existe y et z tels que y a = e et a z = f. Nous avonsalorse f = y a f = y a f = y a= ee f = e a z = e a z = a z= fD’ou l’egalite.
Page 3 : — Montrons maintenant que x E, x f = f x = x.Par surjectivite des applications, il existe y et z tels que y a = x = a z. Nous avons alorsx f = y a f = y a f = y a = xf x = f a z = f a z = a z = xDonc f est bien un element neutre pour la loi .2. Si les applications sont surjectives, pour tout a, alors nous venons de voir qu’il existe un element neutref.Ainsi, pour tout a, par surjectivite, il existe ad et ag tels que ag a = f = a ad.Il ne reste donc plus qu’a montrer que ad = ag :ag = ag f = ag a ad = ag a ad = f ad = ad2Groupes, Sous-GroupesExercice 6Sur G = R+ × R, on definit l’operation par :x; y x′; y′ = xx′; xy′ + yMontrer que G; est un groupe.Solution— Si x; x′ R++2, alors xx′ R+. Il est evident que pour tout x; y et x′; y′ de G, xy′ + y R. Doncla loi est bien une loi de composition interne.— Nous avons 1; 0 G et pour tout x; y G, x; y1; 0 = x×1; x×0+y = x; y et 1; 0x; y =1 × x; 1 × y + 0 = x; y. Donc 1; 0 est un element neutre pour .— Soit x; y G, alors x′; y′ = 1x; yxGx 0. Et nous avons x; yx′; y′ =xx; xy + yxx=1; 0. De mˆeme x′; y′ x; y = 1; 0. Donc tout element de G est inversible.— Enfin, pour tout x; y, x′; y′ , x′′; y′′ de G nous avons x; yx′; y′ x′′; y′′ = x; yx′y′; x′y′′ + y′ =xx′x′′; x′y′′ + xy′ + y x; y x′; y′ x′′; y′ = x′; x′ + y x′′; y′′ = xx′x′′; xx′y′′ + xy′ + yDonc G; est un groupe.Exercice 7Soit les quatre fonctions de Rdans R:f1x = x;f2x = 1x;f3x = x;; f4x = 1xMontrer que G = f1; f2; f3; f4 muni de la loi ◦est un groupe.Solutionf1 est l’identite, donc l’ensemble possede deja un element neutre. Ensuite, f2 ◦f3 = f3 ◦f2 = f4 G, f2 ◦f4 =f4 ◦f2 = f3 G, f3 ◦f4 = f4 ◦f3 = f2, f2 ◦f2 = f1 = f3 ◦f3 = f4 ◦f4 G.Donc nous avons bien une lci et G; ◦ est bien un magma.Nous venons de voir que tout element etait son propre inverse et nous savons deja que la loi ◦est associative.Donc G; ◦ est bien un groupe.La loi est donc associative.Donc G; est un groupe.Exercice 8Quel est le plus petit sous-groupe de R; + respectivement de R; × contenant 1 ? Contenant 2 ?SolutionUn sous-groupe de R; + contenant 1 doit necessairement contenir l’element neutre 0 , mais aussi 1 + 1 = 2,puis 3 , etc, donc N, mais aussi tous les opposes, done Z. Or Z etant un sous-groupe, on a trouve le plus petit.Avec le mˆeme raisonnement, on montre que le plus petit sous-groupe contenant 2 est 2Z .Pour les sous-groupes de R; x, on doit contenir 1 et son inverse : 1 . Donc en fait le groupe reduit a l’elementneutre 1 est le plus petit.S’il contient 2, il contient aussı l’element neutre 1 = 20, mais aussi 2 × 2 = 4 = 22, 4 × 2 = 23, etc. C’est-ı-dire2k/k N.Il doit aussi contenir les inverses de tous ces nombres. Finalement le plus petit sous-groupe de R; x est2k/k Za condition d’avoir verifie, bien evidemment, que c’est un sous-groupe.
Page 4 : Exercice 9Les ensembles suivants, munis de l’addition des reels sont-ils des groupes ? Justifier.1. a2/a N2. a2 + b3/a, b Z3. a2 + b3/a Z, b NSolution1. L’element neutre etant 0 , les elements ne sont pas inversibles car si a N, a /N.2. Si x = a2+b3 et y = d′2+b′3, alors x+y = a + a′2+b + b′3 G. Nous avons donc stabilitepar addition qui conserve sa propriete d’associativite. L’element neutre est 0 = 02 + 03, l’inverse esta2b3. C’est donc bien un groupe.Autre MethodeOn peut aussi montrer que pour tout a2 + b3 et a′2 + b′3 avec a, b, a′, b′ R4,a2 + b3 a′2 + b′3 = a a′2 + b b′3.Or a a′ Z et b b′ Z donc il appartient bien a a2 + b3/a, b Z. Donc c’est un sous-groupede R, +3. Cette fois ce n’est pas un groupe puisque l’inverse n’est pas dans l’ensemble si b N, alors b /N.Exercice 10Les ensembles suivants, munis de la multiplication des reelles sont-ils des groupes ? Justifier.1.1, 1, 12, 22. a2n, a 1, 1 , n Z3.na + b2, a, b QoSolution1. La loi n’est pas interne : tout produit entre deux elements distincts de l’ensemble est bien dans l’ensemble,mais 2 × 2 = 4 n’est pas dans l’ensemble.2. La loi est bien interne : a12m1a22m2 = a1a2 2m1+m2 avec a1a2 = ±1 et n1 + n2 Z, elle est associative.L’element neutre est 1 = 1 × 20. L’inverse de a2n est a2n avec n Z. Donc c’est bien un groupe.3. L’element neutre n’est pas dans l’ensemble : 1 = 1+0×2 or on doit avoir b Qet 1 = a+b2 ⇔2 =1 abQb est non nul , ce qui est absurde car2 est irrationnel.Exercice 11Soit S un sous-groupe d’un groupe G et a G. Montrer que a1Sa =c = a1ba/b Sest un sous-groupede G, dit conjugue de S.Solution— G etant un groupe, il est clair que a1Sa G.— Nous avons 1G = a11Ga a1Sa.— Si d = a1ba et e = a1ca sont deux elements de a1Sa, alorsde1 = a1baa1ca1 = a1baa1c1a= a1 bc1a a1SaCar S etant un sous-groupe, bc1 SExercice 12Soit G un groupe et A G, non vide. On pose :NA =x G/x1Ax = AMontrer que NA est un sous-groupe de G.SolutionVersion sˆur de ce que l’on fait— 11A1 = 1A1 = A, donc 1 NA.— Soit x et y deux elements de NA. Nous avons xy1 = y1x1, d’ou xy1Axy = y1x1Axy =y1Ay = A. Donc xy NA.— Si x NA, alors x1Ax = A. En multipliant par x a gauche et x1 a droite, nous avons A = xAx1 =x11 Ax1. Donc x1 NA.Version on detaille
Page 5 : — Soit y A, montrons que y 11A1.y = 11y1 11A1.Soit y 11A1, montrons que y A. Il existe x A tel que y = 11x1 = x A.Donc A = 11A1 et 1 NA.— Soit x NA. Montrons que xAx1 = A.Soit z A. Puisque A = x1Ax, il existe y A tel que z = x1yx. D’ou z = xyx1 xAx1.Soit z xAx1. Il existe y A tel que z = xyx1. Or A = x1Ax, donc il existe t A tel que y = x1tx.Ainsi, z = xx1txx1 = t =A.Donc A = xAx1 et x1 NA.— Soit x et y deux elements de NA. Nous avons x1Ax = A = y1Ay. Montrons que xy1Axy = A.Soit z xy1 Axy.Il existe t A tel que z = xy1txy = y1x1txy.Or A = x1Ax, donc x1tx x1Ax = A.De mˆeme, un posant u = x1tx A, nous avons y1uy y1Ay = A. donc finalement z A.Soit z A. Puisque A = y1Ay, il existe t A tel que z = y1ty.Mais de mˆeme, il existe u A tel que t = x1ux. D’ou z = y1x1uxy = xy1uxy.Donc z xy1Axy.Donc A = xy1Axy et xy NA.Donc NA est bien un sous-groupe de G.Exercice 13Soit E un ensemble, G; un groupe et f une bijection de E vers F. Pour x; y E2, on pose xy =f 1fxfy.Montrer que la loi de composition interne ainsi definie sur E munit E d’une structure de groupe.Solution— Soit x, y, z trois elements de E. Alors xyz = xf 1fyfz = f 1 fxf ◦f 1fyfz= f 1fxfyfz =f 1 f ◦f 1fxfyfz= f 1fxfyz = xyz. La loi est associative.— Si e est un element neutre alors necessairement, x = xe = f 1fxfe. En composant par f, nousavons fx = fxfe. Or fx G, groupe, donc est inversible et 1G = fe. Par bijectivite de f, nousavons e = f 1 1G . On verifie alors aisement que e = f 1 1G est un element neutre pour la loi adroite ET a gauche.— Soit x E. Posons alors x1 = f 1 fx1. Ainsi xx1 = f 1 fxfx1= f 1 fxfx1=f 1 1G = e. De mˆeme pour x1x. Ainsi tout element de E est inversible.Donc E est bien muni d’une structure de groupe.Exercice 14Soit E; et F; · deux groupes. On munit l’ensemble produit E × F de la loi de composition definie par :x; y, x′; y′ E × F, x; y x′; y′ = x x′; y · y′1. Montrer que E × F; est un groupe.2. Soit E′ un sous-groupe de E et F ′ un sous-groupe de F. Montrer que E′ ×F ′ est un sous-groupe de E ×F,muni de la loi .Solution1. C’est la loi produit, donc la demonstration est faite dans le cours.2. Nous avons bien E′ × F ′ E × F. Puisque E′ et F ′ sont des sous-groupes, ils contiennent respectivementles neutres de E et F, donc E′ ×F ′ contient le neutre de E ×F. Enfin, par construction, si x; y E′ ×F ′et x′; y′ E′ × F ′, alors x; y x′1; y′1=x x′1; y · y′1E′ × F ′ car E′ et F ′ sont dessous-groupes. Plus simplement, d’apres la question precedente, E′ × F ′ est un groupe inclu dans E × F,donc c’est un sousgroupe.Exercice 15Soit G = 1, 1 muni de la loi definie par : x y = x + y1 + xy . Montrer que G, est un groupe abelien.Solution— La loi est clairement commutative.— LCI Pour tout y G, la fonction f : x 7→x y est strictement croissantef ′x =1 y21 + xy2 0etf1 = 1 et f1 = 1, donc pour tout x G, fx G. La loi est donc bien une lci.Autre methode : nous avons 1+xy 0, donc xy 1; 1⇔1xy x+y 1+xy ⇔0 1+x+xyet 1+ xy x y 0. Or 1 + x 0 et 1 + y 0, donc 1 + x1 + y 0, d’ou 1 + x + y + xy 0.De mˆeme avec 1 0 et 1 y 0.
Page 6 : — AssociativeSoit x, y, z G,x y z = x y + z1 + yz=x + y+z1+yz1 + xy+z1+yz= x + y + z + xyz1 + yz + xy + xzCette derniere expression est invariante par permutation sur x, y et z, donc x y z = z y x. Etpar commutativite, cette derniere expression est egale a x y z— Element neutre0 est clairement l’element neutre : x 0 = 0 x = x1 = x.— InversibleL’inverse de x est alors tout simplement x G : x x = x x1 x2 = 0.Exercice 16Soit G un groupe et H et K deux sous-groupes de G.1. Montrer que H K est un sous-groupe de G.2. Montrer que H K est un sous-groupe de G ⇐⇒H K ou K H.Solution1. Si H et K sont des sous-groupes, ils contiennent l’element neutre, donc H K aussi. Si x et y sont dansl’intersection, alors x et y sont dans K, donc xy1 K ; de mˆeme xy1 H. Donc xy1 H K et nousavons bien la stabilite par produit et passage a l’inverse.2. La reciproque est claire : si l’un des deux contient l’autre, l’union est egale a l’autre, donc est un sous-groupe. Demontrons le sens direct par contraposee. Si H n’est pas inclus dans K et K pas inclus dans H,alors H ¯K ̸= et ¯H K ̸= . Prenons x H ¯K et y ¯H K. Ces deux elements sont dans H K.Puisque x H et que H est un sous-groupe, alors x1 est aussi dans H. Supposons que xy H, alorsy = x1xy H, ce qui est impossible, donc xy /H. De mˆeme xy /K. Finalement xy /H K et H Kn’est pas stable pour la loi du groupe, donc n’est pas un sous-groupe de G.Exercice 171. Soit n N. Montrer que nZ est un sous-groupe de Z.2. Montrer que tout sous-groupe de Z est de la forme nZ pour un certain n N.3. Soit a, b Z. On note aZ + bZ = au + bv; u, v Z. Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z.En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d Z. Montrer alors que d = a b.SolutionL’ensemble Z est bien evidemment muni de sa loi + pour devenir un groupe. On rappelle que nZ = kn/k Z.1. L’element neutre 0 = 0 × n est dans nZ. Si x = kn et y = k′n sont dans nZ, alors x y = k k′ n estaussi dans nZ.2. Soit G un sous groupe de Z. Il contient donc 0.SiG = 0, alors G = 0Z. Sinon, il contient un elementx ̸= 0. Mais puisque c’est un groupe, il contient aussi x. Ainsi G Nest une partie de N non vide etcontient donc un plus petit element que l’on note n. Montrons alors que G = nZ par double inclusion :— Soit x G. Si x = 0, alors x nZ. Sinon, comme precedemment, x G. De plus, en effectuant ladivision euclidienne de x par n, nous avons x = nq + r avec 0 r n. Or x G et n G, d’oupar stabilite, nq G et r = xnq G. Or n etait le plus petit element strictement positif de G. Ainsir = 0 et x = nq nZ.— Soit x = nk nZ. Alors par stabilite, puisque n G, nk et donc x est dans G.Nous avons donc montre que tout sous groupe de Z est de la forme nZ. Or nous avons montre a la questionprecedente que tous les ensembles nZ etaient des sous-groupes de Z. Finalement, les sous-groupes de Zsont les nZ.3. Nous avons 0 = a × 0 + b × 0 aZ + bZ. Soit x = ak1 + bk2 aZ + bZ et y = ak′1 + bk′2 aZ + bZ. Alorsx y = a k1 k′1 + b k2 k′2 aZ + bZ. Donc aZ + bZ est un sous groupe de Z, donc s’ecrit dZ. On endeduit qu’il existe k et k′ tels que ak + bk′ = d car d dZ . Donc a b d. De plus, d’apres la relationde Bezout, il existe u et v tels que au + bv = a b, donc a b aZ + bZ = dZ. Donc il existe k Z telque dk = a b. Donc d a b. Finalement d = a b.documentExercice 18
Page 7 : Soit H un groupe abelien. Un element x H est dit d’ordre fini lorsqu’il existe n N tel que la sommex + · · · + x n fois soit egale a 0 . Montrer que l’ensemble des elements d’ordre fini est un sous-groupe abeliende H. Notons G l’ensemble des elements d’ordre fini de H.Solution— Inclusion : Nous avons clairement G H.— Element neutre : Nous avons 0 = 0, donc 0 G.— Stabilite par passage a l’inverse : Soit x G. Il existe n tel que x + · · · + x = 0n fois . D’ou x +· · · + x = x + · · · + x = 0 = 0.— Stabilite par somme : Soit x et y dans G. Il existe nx et ny tels que x + · · · + x = 0 nx fois ety + · · · + y = 0 ny fois. Alors, par commutativite de +H est un groupe abelien , nous avons x + yy G.Donc x + y G. G est un sous-groupe de H et comme H est commutatif, G aussi.Exercice 19Decrire tous les homomorphismes de groupes de Z dans Z.Determiner ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs.SolutionSoit f : Z, + →Z, + un morphisme de groupe. Comme tout morphisme f verifie f0 = 0. Notons a = f1.Alorsf2 = f1 + 1 = f1 + f1 = a + a = 2.a.De mˆeme, pour n 0 :fn = f1 + · · · + 1 = f1 + · · · + f1 = n · f1 = n · a.Enfin comme0 = f0 = f1 + 1 = f1 + f1 = a + f1,alors f1 = a et pour tout n Z :fn = n.a.Donc tous les morphismes sont de la forme n 7→n.a, avec a Z. Un morphisme n 7→n.a est injectif si etseulement si a ̸= 0, et surjectif si et seulement si a = ±1.Exercice 201. Soit G un groupe, pour tout h G, on definit l’applicationϕh :G →Gg 7→hgh1a Montrer que, pour tout h G, l’application ϕh est un automorphisme de groupe ϕh AutG.b Considerons l’application :ϕ : G 7→ϕhMontrer que ϕ est un morphisme de groupe.c On suppose que G, · est commutatif. Determiner le noyau de ϕ.Solution1. Il faut montrer que ϕh est un morphisme de G dans G, bijectif.g G, ϕhe = heh1 = e donc le neutre a pour image le neutre.g, g′ G2, ϕhgg′ = hgg′h1 = hgh1hg′h1 = ϕhgϕhg′ donc il s’agit bien d’un morphisme.On remarque que ϕh1 ◦ϕhg = ϕh1hgh1 = h1hgh1h = gDonc phih admet une reciproque ϕh1 donc ϕh est bijective.2. On a ϕhh′g = hh′gh1h′1 = ϕh ◦ϕh′g et ϕe = Id donc on a bien un morphisme.3. Si G est commutatif, ϕh = Id donc le noyau est G.Exercice 21On note Cl’ensemble des nombres complexes non nuls.1. Montrer que l’applicationfC→Rz7→zest un morphisme de groupes. On note U le noyau du morphisme ci-dessus.
Page 8 : 2. Construire un isomorphisme de groupes de Cvers le groupe produit R× U.Solution1. Soit z, z′ C2, f zz′ = zz′ = zz′ = fzfz′2. On poseψC→R× Uz7→z, eiargzOn demontre aisement que c’est un isomorphismeExercice 22Soit G, un groupe, pour tout h G, on definit l’applicationϕh :G →Gg 7→h g h11. Montrer que, pour tout h G, l’application ϕh est un automorphisme de groupe ϕh AutG.2. Determiner son inverse ϕ1h .3. Montrer que ϕh ◦ϕk = ϕhk, pour tout h, k G.4. Considerons l’application :ϕ :G →AutGg 7→ϕgMontrer que ϕ est un morphisme de groupe.5. On suppose que G, · est commutatif. Determiner le noyau de ϕ.Solution1. • Bijection ?Soit g′ G, on resout pour g G,g′ = ϕhg ⇔h g h1 = g′⇔h1 h g h1 h = h1 g′ h⇔g = h1 g′ hOn a donc obtenu un antecedent unique de g′ par ϕh. Donc il s’agit bien d’une bijection.• Morphisme ?g, g′ G2, ϕhg g′ = h g g′ h1= h g h1 hg′ h1 =h g h1h g′ h1= ϕhg ϕhg′Il s’agit bien d’un morhpisme de groupe.• On aurait pu montrer separement l’injectivite :Si e est le neutre, on aϕhg = e ⇔h g h1 = e ⇔h1 h g h1 h = h1 e h⇔g = eDonc kerϕ = e2. On resout d’abord la question 3h, h′ G, g G, ϕhh′g = h h′ g h h′1 = h h′ g h′1 h1= h h′ g h′1h1 = ϕhϕh′g = ϕh ◦ϕh′gdonc ϕhh′ = ϕh ◦ϕh′Donc ϕ est un morphisme de groupe.on en deduit la question 2 : D’apres la relation precedente, ϕ1h= ϕh1 car ϕhh1 = ϕe = Id evidemment.3.5. Si G est commutatif, h, g G2, ϕhg = h g h1 = g h h1 = gDonc toute application ϕh est l’identite donc Kerϕ = GExercice 23Soit G un groupe. Montrer que l’application g 7→g1 est un morphisme de groupes G →G, si et seulement si,G est abelien.SolutionOn pose ϕ : G→Gg7→g1Si G est abelien alors si alorsg, g′ G2, ϕgg′ = gg′1 = g′1g1 = g1g′1 = ϕgϕg′ donc ϕ est un morphisme.Si ϕ est un morphisme : g, g′ G2, gg′1 = g1g′1
Page 9 : Si on prend l’inverse : gg′ = g1g′11 = g′11g11 = g′g donc G est abelien.Exercice 24Les applications f1 et f2, sont-elles des morphismes de groupes ? Si c’est le cas, determiner le noyau et l’image.f1 :Z2, +→Z, +, a, b 7→a bf2 :Z3, +→Q, +, a, b, c 7→2a3b5cSolution1. Soit a, b, c, d Z22 alors f1a, b+c, d = f1a+c, b+d = a+cb+d = ab+cd =f1a, b f1c, d.C’est donc un morphisme.L’image est Z car il est surjectif f1n, 0 = nLe noyau est l’ensemble des couples a, b tels que a = b donc il est isomorphe a Z.2. Soit a, b, c, d, e, f Z32 alors f1a, b, c + d, e, f = f1a + d, b + e, c + f = 2a+d3b+e5c+f =2a3b5c2d3e5f = f2a, b, cf2d, e, f. Donc il s’agit d’un morphisme.L’image est l’ensemble des rationnels donc la decomposition en fraction irreductible contient uniquementdes 2, 3 et 5 lors de la decomposition.Le noyau est l’antecedent de 1 donc 0,0,0. Donc le morphisme est injectif.Exercice 25Soit a un element d’un groupe G, .1. Montrer que l’application f : k 7→ak definit un morphisme du groupe Z, + vers G, .2. Determiner l’image et le noyau de f.Solution1. m, n Z2, fm + n = am+n = aman = fmfn donc f est un morphisme.2. L’image est le sous-groupe genere par a.Le noyau est un sous-groupe de Z donc de type nZExercice 26Soient n Net f : R→Rdefinie par fx = xn.1. Montrer que f est un morphisme du groupe R, × dans lui mˆeme.2. Determiner l’image et le noyau de f.Solution1. x, y R2, fxy = xyn = xnyn = fxfy donc f est un morphisme de groupe.2. Soit z R+, alors z = xn ⇔ln z = n ln xdonc x = eln zn = z1n est un antecedent de z donc tout element de R+, admet un antecedent.Si n est est pair, x R, xn ⩾0, donc l’image par le morphisme est R+.Le noyau est 1; 1Si n est impair, soit z R, alors z1n est un antecedent de z donc l’image par le morphisme est R.Le noyau est 1
