TD1 Groupes
Télécharger le TD1 Groupes en pdf
Page 1 : Cycle Pre-ingenieurPremiere AnneeAgebre II - 2023/2024Groupes et morphismes de groupes1. Lois de composition internesExercice 1Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre reponse.1. La soustraction est un LCI dans Z.2. 0 est l’element neutre de la soustraction dans Z.3. La soustraction dans Z est associative.4. 0 est l’element neutre pour l’addition dans N.5. L’addition est associative dans N.6. L’addition est une LCI dans l’ensemble des nombres entiers pairs.7. L’addition est une LCI dans l’ensemble des nombres entiers impairs.Exercice 2Preciser pour chacune des LCI definies ci-dessous si elle est associative, commutative, possede unelement neutre.1. x, y R; x y =px2 + y22. x, y R; x y = lnexp x + exp yExercice 3Pour tout x, y 0, 12, on pose : x y = x + y xy1. Montrer que 0, 1, est un magma commutatif et associatif.2. Montrer que 0, 1, possede un element neutre.3. Quels sont les elements inversibles de 0, 1, ?Exercice 4Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et d’un element neutre. Unelement de E est dit idempotent si x x = x.1. Montrer que si x et y sont idempotents et commutent, alors x y est idempotent.2. Montrer que si x est idempotent et inversible alors x1 est idempotent.1
Page 2 : Exercice 5Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne associative. Pour tout a de E, ondefinit les applications ga et da de E dans E :x E;dax = x aetgax = a x.1. Montrer que si a existe dans E tel que ga et da soient surjectives, alors E possede un elementneutre pour la loi .2. Montrer que si pour tout a de E, les applications ga et da sont surjectives, alors tout elementde E possede un inverse pour la loi .2. Groupes, sous-GroupesExercice 6Sur G = R+ × R, on definit l’operation par :x, y x′, y′ = xx′, xy′ + y.Montrer que G, est un groupe.Exercice 7Soit les quatre fonctions de Rdans R:f1x = x,f2x = 1x,f3x = x,f4x = 1x.Montrer que G = f1, f2, f3, f4 muni de la loi ◦est un groupe.Exercice 8Quel est le plus petit sous-groupe de R, + respectivement de R+, × contenant 1 ? Contenant2 ?Exercice 9Les ensembles suivants, munis de l’addition des reels, sont-ils des groupes ? Justifier.1.a2 a N2.a2 + b3 a, b Z3.a2 + b3 a Z, b NExercice 10Les ensembles suivants, munis de la multiplication des reelles, sont-ils des groupes ? Justifier.1.1, 1, 12, 22.a2n a = ±1, n Z3.a + b2 a, b Q2
Page 3 : Exercice 11Soit S un sous-groupe d’un groupe G, et a G. Montrer que a1 S a = a1 b a b Sest un sous-groupe de G, dit conjugue de S.Exercice 12Soit G, un groupe et A G, non vide. On pose :NA = x G x1 A x = A.Montrer que NA est un sous-groupe de G.Exercice 13Soit E, et F, · deux groupes. On munit l’ensemble produit E × F de la loi de composition definie par :x, y x′, y′ = x x′, y · y′.1. Montrer que E × F, est un groupe.2. Soit E′ un sous-groupe de E et F ′ un sous-groupe de F. Montrer que E′ × F ′ est un sous-groupe de E × F, muni de la loi .Exercice 14Soit G =1, 1 muni de la loi definie par xy = x+y1+xy. Montrer que G, est un groupe abelien.Exercice 15Soit G un groupe et H et K deux sous-groupes de G.1. Montrer que H K est un sous-groupe de G.2. Montrer que H K est un sous-groupe de G si et seulement si H K ou K H.Exercice 161. Soit n N. Montrer que nZ est un sous-groupe de Z.2. Montrer que tout sous-groupe de Z est de la forme nZ pour un certain n N.3. Soit a, b Z. On note aZ+bZ = au+bv u, v Z. Montrer que aZ+bZ est un sous-groupede Z. En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d Z. Montrer alors que d = pgcda, b.Exercice 17Soit H un groupe abelien. Un element x H est dit d’ordre fini lorsqu’il existe n N tel que lasomme x + x + . . . + x n fois soit egale a 0. Montrer que l’ensemble des elements d’ordre fini estun sous-groupe abelien de H.3
Page 4 : 2.1 Morphismes de groupesExercice 18Les applications ϕ : G →H definies ci-dessous sont-elles des morphismes de groupes ?1. G = R, ×, H = R, ×, ϕx = x.2. G = R, ×, H = R, ×, ϕx = 2x.Exercice 19Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les proprietes traditionnelles suivantes :1. lnxy = lnx + lny2. zz′ = z · z′3. xy = x · y4. ex+y = ex · eyExercice 20Soit f : R →Cl’application definie par fx = eix.Montrer que f est un homomorphisme de groupes. Calculer le noyau et l’image de f. f est-elleinjective ?Exercice 21Demontrer que les fonctions suivantes sont des morphismes de groupes. Determiner leur noyau etleur image :1. ϕ : Z, + →R, ×, n 7→1n.2. ϕ : C, × →C, ×, z 7→zz.3. ϕ : R+, × × R, + →C, ×, r, θ 7→reiθ.Exercice 22Soit G un groupe. Montrer que l’application x 7→x1 est un morphisme si et seulement si G estcommutatif.Exercice 23Les applications suivantes sont-elles des morphismes de groupes ? Si c’est le cas, determiner leurnoyau et leur image.1. f1 : C, · →R, · definie par f1z = z.2. f2 : Z2, + →Z, + definie par f2a, b = a b.3. f3 : Z3, + →Q+, · definie par f3a, b, c = 2a · 3b · 5c.4
Page 5 : Exercice 24Soit a un element d’un groupe G, .1. Montrer que l’application f : Z →G definie par fk = ak est un morphisme du groupeZ, + vers G, .2. Determiner l’image et le noyau de f.Exercice 25Soient n Net f : R, · →R, · definie par fx = xn.1. Montrer que f est un morphisme du groupe R, · dans lui-mˆeme.2. Determiner l’image et le noyau de f.Exercice 261. Soit G, un groupe, pour tout h G, on definit l’application Φh : G →G par Φhg =h g h1.a Montrer que, pour tout h G, l’application Φh est un automorphisme de groupe Φh AutG.b Determiner l’inverse Φ1hde Φh.c Montrer que Φh ◦Φk = Φhk, pour tout h, k G.2. Considerons l’application Φ : G, →AutG, ◦ definie par Φh = Φh.a Montrer que Φ est un morphisme de groupe.b On suppose que G, · est commutatif. Determiner le noyau de Φ.5
