TD1 Integrales
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Page 1 : 2024/2025Semestre 2 – PréIng 2Intégration et ProbabilitésTD1 - Intégrales généraliséesApplications du coursExercice 1Déterminer, en utilisant le critère de Riemann, la nature des intégrales suivantes.I1 =Z +1ln t1 + t2 dt;I2 =Z 10lnt3t dt;I3 =Z +0expx lnxdx;I4 =Z 10expln2xdxExercice 2Déterminer, en utilisant les équivalents de fonctions, la nature des intégrales suivantes.J1 =Z 101 1 ttdt;J2 =Z 10tanxarcsinx xdx.Exercice 3Soient α β deux réels. Étudier la nature de l’intégrale suivante :I =Z βαdtpt αβ t.Déterminer ensuite la valeur de cette intégrale. On pourra utiliser le changement de variable u = tαβt.Exercice 4Après avoir montré que les intégrales suivantes convergent, déterminer leur valeur par intégration par parties.I1 =Z +0t2etdt;I2 =Z +1arctan1t 1t2 dt.Exercice 5Les fonctions suivantes sont-elles intégrables? On pourra s’aider d’une représentation graphique.f1x = cosx2x2 + 1 sur 0; +;f2x = x12 sinx sur 1; +.Les intégrales suivantes sont-elles convergentes?I1 =Z +0cosx2x2 + 1 dx;I2 =Z +1sinxx12dx.Exercices classiquesExercice 6Déterminer la nature des intégrales suivantes.I1 =Z 101lnxdx;I2 =Z +0dxxα + xβavecα β;I3 =Z +0xα1 exp1xdx avec α R;I4 =Z +0dxx +x2 + 1α avec α R,I5 =Z +0lnxx2 1dx.1
Page 2 : Exercice 7 Intégrales de BertrandÉtudier la convergence de l’intégrale de Bertrand en fonction des paramètres réels α et β:I =Z +2dttαlntβ .Exercice 81. Montrer que, pour tout réel k 0, l’intégrale suivante est absolument convergenteI =Z +1tk1 costdt.2. En déduire que l’intégrale suivante est définie pour tout réel k 0:J =Z +1tk sintdt.3. Utiliser le résultat précédent pour étudier la nature de l’intégraleK =Z +1t sint2dt.Exercice 9On définit la fonction Gamma parΓx =Z +0tx1etdt.1. Déterminer le domaine de définition de Γ l’ensemble des valeurs x pour lesquelles l’intégrale estconvergente.2. Exprimer Γx + 1 en fonction de Γx. En déduire, pour tout n N, Γx + n en fonction de Γx.3. Calculer Γ1 et Γn.4. On pose gx = ln Γx.a Montrer que gx + 1 = gx + lnx.b Montrer que pour tout n 2, on a :gx + n gx = gn + lnx +n1Xk=1lnx + k lnk .5.a En utilisant le changement de variable t = u2, montrer queΓx = 2Z +0u2x1eu2du.b On suppose queZ +0e12 x2dx =π2 .Calculer ensuite Γ 12.c Montrer queΓn + 12=n 12 n 32· · ·12Γ12.d En déduire la valeur de Γn + 12.Exercices supplémentaires2
Page 3 : Exercice 10 La fonction suivante est-elle intégrable? On pourra s’aider d’une représentation graphique.fx = 1⌊x⌋⌊x⌋sur 1; +.avec ⌊x⌋correspondant à la partie entière inférieure. L’intégrale suivante est-elle convergente?I =Z +11⌊x⌋⌊x⌋dx.Exercice 11 Déterminer la nature deA =Z +0dx1 +x 1x2 .Que devient A par le changement de variable x =1t ?En déduire un calcul simple de A.Indication :retrouver la dérivée de fx = x 1x.Exercice 12 Intégrale de FresnelÉtudier la nature de l’intégrale suivante, avec n R+I =Z +0sinxxndx.Appliquer ensuite aux intégrales de Fresnel :I1 =Z +0sinx2dx;I2 =Z +0cosx2dx;I3 =Z +0sinxαdxavec α R.Exercice 13 On poseI =Zπ20ln sinx dx.1. Montrer que l’intégrale I est convergente.2. Montrer queI =Zπ20lncosxdxet queI = 12Zπ20ln12 sin 2xdx.3. Montrer queI =Zπ20lnsin2xdx.4. Déduire des deux questions précédentes la valeur de I.Exercice 14 Déterminer la nature de l’intégrale puis calculer la valeur deI =Z 10dxx2 x313 .3
