TD1 Logique et Raisonnement
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Page 1 : Cycle pré-ingénieur - Première AnnèeAlgèbre 1 - 2024/2025Logique et Raisonnement - TD1LogiqueExercice 1.1. Soit P, Q et R trois propositions.Démontrer les équivalences suivantes en utilisant des tables de vérité.1. P ou P ⇐⇒P2. P et Q ⇐⇒Q et P3. nonP ou Q ⇐⇒nonP et nonQ4. P ou Q ou R ⇐⇒P ou Q ou R5. P ou Q et R ⇐⇒P ou Q et P ou R6. P =⇒Q ⇐⇒nonP ou Q7. P ⇐⇒Q ⇐⇒nonP ⇐⇒nonQA faire chez soi8. nonnonP ⇐⇒P9. Pet P ⇐⇒P10. P ou Q ⇐⇒Q ou P11. P et Q et R ⇐⇒P et Q et R12. P et Q ou R ⇐⇒P et Q ou P et R13. P ou Q ⇐⇒nonP =⇒QExercice 1.2. Soient P, Q et R deux propositions. Les propositions « P ou Q et R »et « P ou Q et R »sont-elles équivalentes ?Exercice 1.3. Sans utiliser de table de vérité mais en utilisant les différentes propriétés déjà démontrées montrerque :1. nonP =⇒Q ⇐⇒P et nonQ2. P ou Q ⇐⇒nonP =⇒QExercice 1.4. Traduire en toutes lettres les huit propositions suivantes lorsque x désigne un individu, y unfilm et que Px, y est la proposition « L’individu x a vu le film y ».1. x, y, Px, y2. x, y, Px, y3. x, y, Px, y4. y, x, Px, y5. y, x, Px, yA faire chez soi6. y, x, Px, y7. x, y, Px, yExercice 1.5. Soit I un intervalle non vide de R et f : I →R une fonction définie sur I à valeurs réelles.Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes :1
Page 2 : 1. λ R, x I, fx = λ2. y R, x I, fx = y3. x I, fx = 0 ⇒x = 04. x; y I2, fx = fy ⇒x = y5. ϵ 0, y R, α 0, x R, x y α =⇒fx fy ϵ.6. ϵ 0, α 0, x R, y R, x y α =⇒fx fy ϵ.Exercice 1.6. Soit I un intervalle non vide de R et f : I →R une fonction définie sur I à valeurs réelles.Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :1. f est l’application nulle.2. f n’est pas l’application nulle.3. La fonction f s’annule.4. f ne s’annule pas sur I.5. La fonction f ne prend jamais deux fois la même valeur.6. La fonction f prend des valeurs arbitrairement grandes.A faire chez soi7. f est une fonction constante.8. La fonction f n’est pas une fonction constante.9. La fonction f présente un minimum.10. f est une fonction affine.Exercice 1.7. Donner la négation des phrases suivantes1. x 32. 0 x 23. x R, y R, x + y 04. x R, y R, x + y 05. x R, y R, y2 x6. P et nonQ7. P et Q =⇒R =⇒S8. Dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs.9. Pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z x implique la relationz x + 110. ε 0, α 0,x 75 α =⇒5x 7 εA faire chez soi11. x R, y R, x + y 012. P ou Q et R13. Tout triangle rectangle possède un angle droit.14. Tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraiteavant 50 ans.Exercice 1.8. Soit f : R →R. Indiquer la différence de sens entre les deux propositions :1. x R, y R, y = fxety R, x R, y = fx2. y R, x R, y = fxetx R, y R, y = fx3. x R, M R, fx MetM R, x R, fx M2
Page 3 : A faire chez soiExercice 1.9. M Soit f : R →R une fonction. Pour chacune des propositions suivantes, donner graphiquementà main levée un exemple de fonction f NE la vérifiant PAS contre-exemple.1. M R, x R, fx M2. x R, fx 0 ⇒x 03. x R, fx 1 ou fx 1Exercice 1.10. M Soit I un intervalle non vide de R et f : I →R une fonction a valeurs réelles définie surI. Exprimer les négations des propositions suivantes :1. x I, fx ̸= 02. M R, x I, fx M3. y R, x I, fx = y4. x; y I2, fx = fy ⇒x = yExercice 1.11. M Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose ⇒, ⇐, ⇔1. x R; x2 = 4 . . . . . . x = 22. z C; z = ¯z . . . . . . , z R3. x R; x = π . . . . . . e2ix = 1Exercice 1.12. M Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.1. x R, x 2 ⇒x 32. x, y R+2, x y ⇔1x 1y3. x R+, x x4. n N,nXk=0k 1002RaisonnementsExercice 2.1.a. Soit x un irrationnel positif. Montrer que x est irrationnel.b. Montrer que2 est un nombre irrationnel.Exercice 2.2. Démontrer, en raisonnant par l’absurde, que si n N×, alors n2 +1 n’est pas le carré d’un entiernaturelExercice 2.3. Montrer que lorsqu’un réel peut être écrit sous la forme a + b2 avec a et b appartenant à Z,alors les entiers a et b sont nécessairement uniques.Exercice 2.4.1. Montrer que toute fonction f : R →R s’écrit de façon unique comme la somme d’unefonction paire et d’une fonction impaire.2. Donner cette décomposition si fx =x + 1x2 + x + 1A faire chez soiExercice 2.5. M Soit a et b deux réels. Montrer quea2 + b2 = 0⇒a = b = 0.3
Page 4 : Exercice 2.6. M Soit f : R →R une fonction. Montrer quef impaire ⇒f0 = 0.Exercice 2.7. M Deux joueurs s’affrontent sur le jeu suivant. Ils disent chacun à leur tour un nombre entre1 et 7 . Les nombres sont additionnés et dès que le cumul des nombres qu’ils ont proposés vaut 100, le jeu estfini. Le joueur qui a atteint 100 et a donc parlé en dernier gagne. Comment jouer ?Exercice 2.8. M Un vol a été commis dans un asile. Trois pensionnaires A, B et C sont suspects. Voici leurstémoignages, chacun formulant trois assertions :A : Je suis innocent. À l’heure du vol, j’étais avec B. C’est C le coupable.B : Je suis innocent. A aussi. A n’était pas avec moi à l’heure du vol.C : Je suis innocent. B aussi. A a menti trois fois.Vous savez que chaque suspect a au moins menti une fois sur ses trois affirmations. Qui est le coupable ?Exercice 2.9. M Thomas, Jules et Yves sont partis contempler des oiseaux. Chacun a vu un oiseau que lesdeux autres n’ont pas vu. Chaque deux ont vu un oiseau que le troisième n’a pas vu, et un oiseau a été vu parles trois. Parmi les oiseaux que Thomas a vus, deux sont jaunes. Pami ceux vus par Jules, trois sont jaunes, etpami ceux vus par Yves, quatre sont jaunes. Combien d’oiseaux jaunes ont été vus au total ? Combien d’oiseauxnon jaunes ont été vus au total ?Exercice 2.10. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n on an! 2n1.Exercice 2.11. Démontrer par récurrence les égalités suivantes pour tout entier naturel non nul n.anXk=1k = nn + 12bnXk=1k2 = nn + 12n + 16cnXk=1k3 = nXk=1k!2Exercice 2.12.a Démontrer que pour tout entier naturel n N, 7 divise 32n+1 + 2n+2.b Soit un entier a 2 tel que 3 divise a2 a. Démontrer que pour tout entier naturel n 2, 3 divise an ac Démontrer que pour tout entier naturel n N, 17 divise 3 · 52n+1 + 23n+1.Exercice 2.13. Soit unnN la suite réelle déterminée par u0 = 2, u1 = 3 et pour tout n N :un+2 = 3un+1 2un.Montrer que pour tout n N : un = 2n + 1.4
Page 5 : A faire chez soiExercice 2.14.anXk=11kk + 1 =nn + 1bnXk=11kk + 1k + 2 =nn + 34n + 1n + 2Exercice 2.15.a Démontrer que pour tout entier naturel n N, 3 divise 4n + 2.b Supposons a impair. Démontrer que pour tout entier naturel n N 2n+2 divise a2n 1.Exercice 2.16. Soit unnN la suite réelle déterminée par u0 = 0, u1 = 0, u2 = 2 et pour tout n N :un+3 = 3un+2 3un+1 + un.Montrer que pour tout n N : un = nn 1.Pour aller plus loinExercice 2.17. Démontrer quea, b R2, n N,a + bn =nXk=0nkankbk.Exercice 2.18. On revient sur la propriété :«Tout ensemble fini de N non vide admet un plus grand élément.»Pour définir N, on peut soit admettre cette propriété et démontrer l’axiome de récurrence, soit admettre l’axiomede récurrence et en déduire cette propriété. Démontrer que si l’on admet l’axiome de récurrence, on peutdémontrer la propriété.5
