TD1 Reduction Endomorphismes
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Page 1 : 2023/2024Semestre 2 – PréIng 2Algèbre Linéaire & BilinéaireTD1 - Réduction d’EndomorphismePartie I : Éléments PropresExercice 1Soit f LK2 défini par fx1, x2 = 3x2, x1.a Trouver tous les éléments propres de f pour K = R.b Trouver tous les éléments propres de f pour K = C.Exercice 2Trouver tous les éléments propres de f sans utiliser le polynôme caractéristique.1 f LK2 défini par fz1, z2 = z2, z1.2 f LK3 défini par fz1, z2, z3 = 2z2, 0, 5z3.3 n Net f LKn défini par fz1, z2, . . . , zn = z1, 2z2, . . . , nzn.Exercice 3Soit f l’endomorphisme de R2X défini pour tout P = a + bX + cX2 R2X par :fP = b + c + a + cX + a + bX2Déterminer tous les éléments propres de f.Exercice 4SoitA =1/21/21/21/2A est une projection A2 = A.1 Déterminer les éléments propres de A, comme endomorphisme de M2,1R.2 Déterminer les éléments propres de A, comme endomorphisme de M2,1C.Exercice 5SoitA =0110A est une rotation d’angle 90°.1 Déterminer les éléments propres de A, comme endomorphisme de M2,1R.2 Déterminer les éléments propres de A, comme endomorphisme de M2,1C.1
Page 2 : Exercice 6 Propriétés propres d’un endomorphismeSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit f et g deux endomorphismes de E.Pour tout k N, on note : f k = f ◦. . . ◦fzk foisoù f 0 = idE et f k = f 1k si f est inversible.1 Montrer que 0 est valeur propre de f ssi f est non bijectif.2 Montrer que f ◦g et g ◦f ont les mêmes valeurs propres. on admettra que : f ◦g est injectif ⇔g ◦f est injectif .3 Montrer que si λ est valeur propre de f, alors k N, λk est valeur propre de f k.4 Supposons que f est inversible. Soit λ une valeur propre de f.a Montrer que 1/λ est valeur propre de f 1.b Montrer que : k N, λk est valeur propre de f k.Exercice 7 Propriétés propres d’une matrice carréeSoit A et B deux matrices carrées d’ordre n A, B MnK.1 Montrer que A et AT ont le même polynôme caractéristique.Ont-elles les mêmes valeurs propres ? Ont-elles les mêmes sous-espaces propres ?2 Montrer que 0 est valeur propre de A ssi A est non inversible.3 Montrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres.4 Montrer que si λ est valeur propre de A, alors k N, λk est valeur propre de Ak.5 Supposons que detA ̸= 0. Soit λ une valeur propre de A. montrer que k Z, λk est valeur proprede Ak.Exercice 8A M2R. Soit :A = 2225etV = 121 Montrer que V est vecteur propre de A. A quelle valeur propre de A est-il associé ?2 Calculer A2. Montrer que V est vecteur propre de A2.A quelle valeur propre de A2 est-il associé ?3 Montrer que A est inversible et calculer A1. Montrer que V est vecteur propre de A1.A quelle valeur propre de A1 est-il associé ?4 Etudier le cas générale où A MnK et V Mn,1K un vecteur propre de A.Exercice 9Soit n Netf : MnR→MnRA7→AT1 Vérifier que f est linéaire.2 Déterminer les valeurs propres possibles de f.3 Déterminer les éléments propres de f pour n = 1 et n = 2.4 Quelles sont les sous-espaces propres de f pour n 2.2
Page 3 : Exercice 10Soit E = R2X. On pose :P E,fP = 2X + 1P X2 1P′1 Vérifier que f est un endomorphisme de E.2 Ecrire la matrice A de f dans la base B = 1, X, X2.3 Trouver les valeurs propres de f.4 Déterminer les vecteurs propres de f.5 Calculer An pour tout n N.Exercice 11 Eléments propres sur un espaces vectoriel de dimension infinieDéterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l’endomorphisme f de RX défini par :P RX,fP = X + 1X 3P′ XPExercice 12 Eléments propres sur un espaces vectoriel de dimension infinieSoit ϕ : RX →RX, l’endomorphisme de RX défini par ϕP = P′.Déterminer les valeurs propres de ϕ ainsi que les sous-espaces propres associés.Exercice 13 Eléments propres sur un espaces vectoriel de dimension infinieSoit E = CR, R et D l’endomorphisme de E qui à f associe sa dérivée f′.Déterminer les valeurs propres de D ainsi que les sous-espaces propres associés.Exercice 14Soit A MnK, telle que la somme des éléments de chaque ligne de A vaut 1.Montrer que 1 est valeur propre de A.Partie II : DiagonalisationExercice 15 Rappels sur la trace et le déterminantOn suppose que la matrice M M2R suivante a pour valeurs propres 7 et 8.M =42abDéterminer les valeurs de a et b.Exercice 16Diagonaliser dans M3R les matrices suivantes :1. A =2011112012. B =0101010103. C =1155533533Exercice 17Soit a R. Diagonaliser dans M3R les matrices suivantes :1. A =1aa200a0012. B =011a 1aa + 1aaa + 13
Page 4 : Exercice 18Diagonaliser dans M4R la matrice suivante :A =1011011111101101Partie III : TrigonalisationExercice 19Trigonaliser dans M2R la matrice suivante : 0112Exercice 20Etudier et proposer différentes trigonalisations dans M3R de la matrice suivante :B =100001012Exercice 21Trigonaliser dans M3R les matrices suivantes :1. A =5172529161592. B =201110113Exercice 22Trigonaliser dans M4R la matrice suivante :A =1011231011101101Exercice 23Soit a, b, c R et soit :A =1a101b00c1 Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable dans M3R.2 Diagonaliser A pour a = 0, b = 1 et c = 2.3 Trigonaliser A pour a = b = c = 1.4
Page 5 : Partie IV : Suites RécurrentesExercice 24Soit x0, y0 R2 donné. Considérons le système de suites réelles récurrentes xnnN et ynnN défini par :n N, xn+1 = 2xn + ynyn+1 = xn + 2ynPour tout n N :1 Ecrire le système sous la forme matricielle Xn+1 = AXn, en précisant les différentes matrices.2 Calculer An. En déduire xn et yn en fonction de x0, y0 et n.Exercice 25Soit a, b R avec a ̸= 1. Etudier la nature des suites réelles unnN et vnnN définies par :u0 et v0 sont données et n N , un+1 = aun + bvnvn+1 = vnS1 En utilisant une récurrence.2 En écrivant S sous forme matricielle.Exercice 26On considère la suite XnnN de matrices de M2,1R définie pour tout n N parXn+1 = AXn + BavecA = 12141412!,B = 1414!,Xn = xnyn!, et X0 = x0y0!est donné.1 Montrer que la matrice I2 A est inversible et calculer son inverse I2 A1.2 Montrer qu’il existe une solution constante à cette suite récurrente, c’est-à-dire trouver une matriceX M2,1R telle que X = AX + B.3 n N on note Un =unvnet on pose Un = Xn X.a Justifier que pour tout n N : Un+1 = AUn.b Montrer que pour tout n N : Un = AnU0.c Calculer An.d Donner en fonction de n, u0 et v0 l’expression des suites réelles unnN et vnnN.d Etudier limn→Un.4 En déduire que la suite de matrices colonnes XnnN converge vers X.5
Page 6 : Exercices SupplémentairesExercice 27Soit t R et :A =01sin t10cos tsin tcos t0Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = e1, e2, e3 une base de E. Soit f LE t.q. :MBf = A1 La matrice A est-elle diagonalisable dans M3R ?2 Montrer que B′ = f 2e3, fe3, e3 est une base de E.3 Donner la matrice T de f dans la base B′ et en déduire une trigonalisation de A.Exercice 28Diagonaliser ou trigonaliser les matrices suivantes :1. A =11111111111111112. B =0100011333. C =032252230Exercice 29Soit f l’endomorphisme de RnX définie parP RnX,fP = P X + 1P′1 Justifier que f définit un endomorphisme de RnX.2 Déterminer les valeurs propres de f et justifier que f est diagonalisable.Exercice 30Diagonaliser dans M4R les matrices suivantes :A =1224342100230045etB =1300420011532042Exercice 31Soit m R. Considérons la matrice :A =0mm21/m0m1/m21/m0A est-elle diagonalisable dans M3R ? Calculer An pour tout n N.6
