TD1 Reels
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Page 1 : Cycle pre-ingenieur - PremiereAnneeAnalyse 1 - 2024/2025Nombres ReelsExercice 1. Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des decimaux ?a = 1/3,b = 1/15,c = 1/25,d = 1/125,e = 0.333 . . . ,f =2,g = 0.123456789123 . . .Exercice 2. Trouver sous la formepq des rationnels x dont les developpements decimauxperiodiques sont donnes par :3.14 b14 . . . ;3.149b9 . . .A faire chez soi0.999. . . .Exercice 3. Montrer que ln 3ln 2 est irrationnel.Pour aller plus loinExercice 4.1. Demontrer que si r Q et x ̸Q alors r + x ̸Q et si r ̸= 0 alors r.x ̸Q.2. Montrer que2 ̸Q.3. En deduire: entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.Exercice 5. Etant donne un ensemble A R, ecrire avec des quantificateurs les proprietessuivantes:1. 10 est un majorant de A;2. m est un minorant de A;3. P n’est pas un majorant de A;4. A est majore;5. A n’est pas minore;1
Page 2 : 6. A est borne;7. A n’est pas borne.Exercice 6. SoitI =x R: 2 x + 12x 2.1. Montrer que I est la reunion de deux intervalles.2. Determiner s’il existent: les majorants, les minorants, la borne superieure, la borneinferieure, le plus grand element, le plus petit element de I.Exercice 7. Les ensembles suivants sont-ils majores ? Minores ? Si oui, determiner leur borneinferieure et leur borne superieure. Ont-t-ils un plus petit element? Un plus grand element?A =x R : x2 2B =1 + 1n : n NC =1n 1p : n N, p NExercice 8.1. Montrer que, n, m N0 mnm + n2 14.2. En deduire queA =mnm + n2, n N, m Nadmet une borne superieure et inferieure que l’on determinera.Exercice 9. Soit A et B deux parties non vides de R telles que pour tout x de A et tout y deB on aitx y.Demontrer que supA et infB existent et que supA infB.Exercice 10.1. Soit A une partie non vide et bornee de R. On poseA = x : x A.Montrer que A est une partie bornee de R et que supA = infA.2. Soient A, B deux parties non vides bornees de R. On poseA + B = x + y : x A, y B.Montrer que A + B est une partie bornee de R et que supA + B = supA + supB,infA + B = infA + infB.2
Page 3 : Exercice 11. Soit A et B deux parties bornees de R. Demontrer les implications suivantes:1. A B ⇒supA supB,2. A B ⇒infB infA,3. supA B = maxsupA, supB,4. infA B maxinfA, infB.A faire chez soiExercice 12. On considere l’ensemble des nombres de la forme 1n, ou n decrit l’ensemble desentiers strictement positifs. Cet ensemble est-il majore ? Minore ? A-t-il un plus petit element? Un plus grand element ? Justifier vos reponses.Exercice 13. Soit A une partie non vide et bornee de R. On noteB = x y, x, y A2.1. Justifier que B est majore.2. Prouver quesupB = supA infA.Exercice 14. Soient A et B deux parties non vides bornees de R. On poseA · B = x · y : x A, y B.A-t-on toujours supA · B = supA. supB? Quelle hypothese peut-on ajouter pour que celasoit vrai ?Exercice 15. Soit A et B deux parties bornees de R. Demontrer les implications suivantes:1. infA B = mininfA, infB,2. supA B minsupA, supB,Exercice 16. Montrer que la fonction partie entiere est croissante.Exercice 17. On note Ex la partie entiere d’un nombre reel x.1. Monter que pour tout x, y R2,Ex + Ey Ex + y Ex + Ey + 1.2. Calculer Ex + Ex pour tout x R.3. Montrer que n Net x R, Ex = EEnxn.3
Page 4 : A faire chez soiExercice 18. Soient n un entier naturel et x un reel positif.1. Combien y a-t-il d’entiers naturels entre 1 et n? entre 1 et x?2. Combien y a-t-il d’entiers naturels entre 0 et n? entre 0 et x?3. Combien y a-t-il d’entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d’entiers naturelsimpairs entre 0 et x ?4. Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?5. Combien l’equation x+2y = n, n entier naturel donne et x et y entiers naturels inconnus,a-t-elle de couples solutions ?6. De combien de fa¸cons peut-on payer 10 euros avec des pieces de 10 et 20 centimes d’euros?Exercice 19. Resoudre, dans R, les equations suivantes:1. 5Ex + 2 · 3Ex + 6 = 0.2. 2Ex + 12 4.Pour aller plus loinExercice 20. Montrer que pour tout n N, x R:n1Xk=0Ex + kn= Enx.Exercice 21 Inegalite de Cauchy-Schwartz. Soit n N, a1, . . . , an et b1, . . . , bn R.Montrer quenXk=1akbk vuutnXk=1a2kvuutnXk=1b2k.Indication: considerer le polynˆome fx = Pnk=1ak + bkx2.4
