TD1 Systeme lineaires

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Page 1 : Cycle Preparatoire -Premiere AnneeAgebre I - 2021/2022Systemes Lineaires1SYSTEMES LINEAIRESExercice 11. Resoudre de deux manieres differentes le systeme suivant parsubstitution, par la methode du pivot de Gauss :2x + y = 13x + 7y = 22. Choisir la methode qui vous parait la plus rapide pour resoudre,selon les valeurs de a, les systemesax+y=2a2 + 1x+2ay=1et a + 1x+a 1y=1a 1x+a + 1y=1Exercice 2Resoudre les sytemes suivantsx+yz=0xy=0x+4y+z=0;x+y+2z=5xyz=1x+z=3et3xy+2z=ax+2y3z=bx+2y+z=cExercice 3En utilisant la methode d’echelonnement en colonnes et en lignes resoudreles systemes lineaires suivantsx1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + x2 x3 x4 = 1x1 x2 + x3 x4 = 1x1 x2 x3 + x4 = 1

Page 2 : etx + y + z = 1x + z αt = 2y t = 1y + z + t = 0Exercice 4Resoudre le systeme d’inconnuues x; y; z; t C4 suivant :x+2y+3z+2t=02x+3y5z+t=03x4y+7z3t=52x+3y+8z+2t=6Exercice 5Resoudre le systeme d’inconnuues x; y; z; t C4 suivant :x+2yz+3t=13x+y+z+2t=6x3y+3zt=55x+5yz+7t=5Exercice 6Discuter selon m les solutions des systemes suivants :xy+z=mx+myz=1xyz=1etmx+y+z+t=1x+my+z+t=mx+y+mz+t=m + 1Exercice 7Dicuter selon a; b C2 les solutions des systemes d’inconnues x; y; z C3 suivants :ax+by+z=1x+aby+z=bx+by+az=1etx+ay+bz=ax+by+az=bax+y+bz=abx+y+az=bExercice 8Resoudre le systeme de n equations suivant, d’inconnue x1, . . . , xn Cnx1+x2+x3+· · ·+xn=1x1+2x2+2x3+· · ·+2xn=1x1+2x2+3x3+· · ·+3xn=1...x1+2x2+3x3+· · ·+nxn=1

Page 3 : 2Rang d’une matriceExercice 9Calculer le rang des matrices suivantes en fonctions des parametres quiles definissent :A =112224112B =402223416033C =1t1t111t1, t RD =1212230549671155E =111b + cc + aa + bbccaabF =1cosxcos2xcosxcos2xcos3xcos2xcos3xcos4xExercice 10Determiner selon la valeur de a le rang de la matrice suivante :A =1aa2a3aa2a31a2a31aa31aa2

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