TD1 Systemes
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Page 1 : Algèbre 2Préing 12024 – 2025TD1 – Systèmes linéairesExercice 1.1. Résoudre de deux manières différentes le système suivant par substitution, par la méthode du pivotde Gauss :½2x + y = 13x +7y = 22. Choisir la méthode qui vous paraît la plus rapide pour résoudre, selon les valeurs de a, les systèmes :½ax +y = 2a2 +1x +2ay = 1et½a +1x +a 1y = 1a 1x +a +1y = 1Exercice 2. Résoudre les systèmes suivants :1.x + y z = 0x y= 0x +4y + z = 02.x + y +2z = 5x y z = 1x+ z = 33.3x y +2z = ax +2y 3z = bx +2y + z = cExercice 3. En utilisant la méthode d’échelonnement en lignes, résoudre les systèmes linéaires suivants :1.x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + x2 x3 x4 = 1x1 x2 + x3 x4 = 1x1 x2 x3 + x4 = 12.x + y + z= 1x+ z λt = 2yt = 1y + z +t = 0Exercice 4. Résoudre les systèmes d’inconnues x, y,z,t R4 suivant :1.x +2y +3z +2t = 02x +3y 5z + t = 03x 4y +7z 3t = 52x +3y +8z +2t = 62.x +2y z +3t = 13x + y + z +2t = 6x 3y +3z t = 55x +5y z +7t = 5Exercice 5. Discuter selon m les solutions des systèmes suivants :1.x y + z = mx +my z = 1x y z = 12.mx +y +z + t = 1x +my +z + t = mx +y +mz + t = m +1Exercice 6. Discuter selon a,b R2 les solutions des systèmes d’inconnues x, y,z R3 suivants :1.ax + by + z = 1x + aby + z = bx + by + az = 12.x + ay + bz = ax + by + az = bax +y + bz = abx +y + az = bExercice 7. Résoudre le système de n équations suivant, d’inconnue x1,...,xn Rn :x1 + x2 + x3 +...+ xn = 1x1 +2x2 +2x3 +...+2xn = 1x1 +2x2 +3x3 +...+3xn = 1...x1 +2x2 +3x3 +...+nxn = 11
Page 2 : Exercice 8. Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres qui les définissent :1. A =1122241122. B =4022234160333. C =1m1m111m1.4. D =12122305496711555. E =111b +cc + aa +bbccaab.6. F =1cosxcos2xcosxcos2xcos3xcos2xcos3xcos4x.Exercice 9. Déterminer selon la valeur de a C le rang de la matrice suivante :A =1aa2a3aa2a31a2a31aa31aa22
