TD1 Tribu et application mesurable
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Page 1 : CY-Tech - Département Mathématiques1ère année Ingénieurs - Génie MathématiqueMesure & intégrationTD1 – Tribus et application mesurablesSoit T PΩ, on dit que T est une tribu de parties ou σ-algèbre si elle vérifie :1. ΩT ,2. la stabilité par passage au complémentaire : A T =⇒Ω\A T ,3. la stabilité par réunion dénombrable : Si An T pour tout n N alors SnNAn T .Tribu – Rappel 1.EXERCICE 1 Soit T une tribu de parties de Ω. Montrer que :a ; T .b n N, An T alors TnNAn T .EXERCICE 2 Soient T une tribu de parties de Ωet U Ω. Montrer queTU =nAU, A Toest une tribu sur U. Cette tribu est appelée la tribu trace sur U.EXERCICE 3 Montrer les propriétés suivantes.1. L’intersection de tribus sur Ωest une tribu sur Ω.2. Tribu image réciproque : Soit f une application de E dans F. L’image réciproque d’une tribu F surF est une tribu sur E :f 1 FDéfinition=nf 1 B; B Fo.EXERCICE 4 Soient A et B deux sous-ensembles de Ω.1. Décrire la tribu engendrée par A. Justifier votre réponse.2. Décrire la tribu engendrée par A et B. Justifier votre réponse.Soient Ω1,T1 et Ω1,T1 deux espaces mesurables. Soit f : Ω1 →Ω1. On dit que f est T1,T2-mesurable si l’image réciproque de tout élément de T2 par f appartient à T1:B T2, f 1B T1.Application mesurable – Rappel 2.
Page 2 : Mesure et intégrationEXERCICE 5 Soient Ω1;T1, Ω2;T2 et Ω3;T3 trois espaces mesurables. Soient g : Ω2 →Ω3 une ap-plication continue, f : Ω1 →Ω2 une application mesurable, h = g ◦f . Montrer que h est une applicationmesurable.EXERCICE 6 Soit X ,T un espace mesurable. On note 1A la fonction indicatrice sur A. Montrer que 1Aest mesurable si et seulement si A est mesurable.EXERCICE 7Soient X ,T un espace mesurable et f : X ,T →R,B R une application mesurable.Soit k 0. On définit fk par :fkx =f xsi¯¯f x¯¯kksif xkksif xkMontrer que fk est mesurable.EXERCICE 81. Soient fn : Ω→R des fonctions mesurables. Montrer que infn fn , supnfn, liminfnfn et limsupnfn sontmesurables à valeurs dans R.2. Soit f : Ω→R une fonction mesurable. Montrer que f est une fonction mesurable.ING1 GM – TD12/2
