TD1 VARC
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Page 1 : CyTech Dpt Maths Ing11Feuille d'exercicesVariables aléatoires réelles continuesNote. Toutes les v.a.r. sont dénies sur un espace probabilisé Ω, A, P.Exercice 1 - Soit α R avec α 5 et f la fonction dénie par :fx = x8 Iα,5x1a Déterminer la constante α an que la fonction f soit une fonction de densité de probabilité.b Tracer l'allure de la courbe représentative de f.2 Soit X une v.a.r. absolument continue de fonction de densité de probabilité f.a Déterminer F, la fonction de répartition de X.b Tracer l'allure de la courbe représentative de F.3 Calculer l'espérance EX et la variance V X de X.4 En faisant usage de la fonction de répartition de X, calculer les probabilités suivantes :a PX 4b PX 3c P4 X 5d PX 3 X 4e PX 4 X 3Exercice 2 - Loi exponentielleLe temps d'attente en minutes pour un avion, avant d'obtenir l'autorisation d'atterrir, est modélisépar une v.a.r. Y vériant la relation Y = 3X 2 où X est une v.a.r.a.c. dont la densité est :fXx = 14ex4 I0,+x1 Vérier que la fonction fX est bien une fonction de densité de probabilité.2 Déterminer la fonction de répartition FX associée à la v.a.r. X.3 En déduire la fonction de répartition FY associée à la v.a.r. Y .4 Calculer l'espérance EX et la variance V X de X.5 En déduire l'espérance et la variance de Y .Comment peut-on interpréter, selon le contexte, la valeur de l'espérance de Y ?6 Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre 5 et 10 minutes ?7 Quelle est la probabilité que le temps d'attente dépasse 10 minutes ?Exercice 3 - Loi normale standardSoit X une v.a.r.a.c. qui suit une loi normale standard, i.e., X N0, 1. Notons ϕ sa f.d.p. et Φ saf.r..1 Montrer que Φ est strictement croissante sur R. En déduire que Φ réalise une bijection de Rdans 0, 1.2 Montrer que pour tout x R,Φx + Φx = 1. En déduire Φ0.Remarque : ce résultat explique pourquoi les tables de Φ ne donnent Φx que pour x 03 En utilisant la table de Φ, déterminer a 0 tel que PX a 0.95.
Page 2 : 2Exercice 4 - Lois normalesPour toute v.a.r.a.c. suivant une loi normale standard, on notera ϕ sa f.d.p. et Φ sa f.r..1 Soit X une v.a.r.a.c. qui suit la loi normale standard, i.e., X N0, 1.A l'aide de la table de la loi normale standard, calculer :PX 2 ;P1 X 1.5 ;PX 0.52 Soit Y une v.a.r.a.c. qui suit une loi normale ; Y Nµ, σ2 = N4, 16. Calculer :PY 2 ;P1 Y 1.5 ;PY 0.53 Soit U une v.a.r.a.c. qui suit une loi normale ; U Nµ, σ2.Sachant que µ = 6 et σ2 = 4, calculer :PU 4 3etPU3U 64 Déterminer l'écart-type σ et l'espérance µ d'une v.a.r.a.c. V qui suit une loi normale telle quePV 5 = 0.1587 et PV 20 = 0.9772.Exercice 5 - Test de WechslerLe test de Wechsler est destiné à mesurer le Quotient Intellectuel QI, à l'aide de tests mesurantles facultés cognitives des personnes testées. On compare le score global de la personne testée avec ladistribution des scores obtenus par un échantillon représentatif de la population d'un âge donné. Onsuppose que le résultat à ce test, noté R, est une v.a.r.a.c. qui suit une loi normale, de moyenne 100points et d'écart-type 15 points, i.e., R N100, 152.Note. On donnera les solutions arrondies à 102 près en utilisant la table de la loi normale N0, 1.1 Quelle est la probabilité d'avoir un QI inférieur à 80 ?2 Quelle est la probabilité d'avoir un QI compris entre 105 et 110 ?3 Un individu obtenant un score de 69 points fait-il partie des 5 inférieur de la distribution ?4 En dessous de quel QI se trouve le tiers des individus ?5 Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5 d'individus les plus performants ?Exercice 6 - Lois normalesUn pépiniériste vends des graines par sachets. Le poids total des graines par sachet est une v.a.r.a.c.X qui suit une loi normale Nµ, σ2.1 Pour µ = 500 g et σ = 50 g, calculer la probabilité que le poids des graines d'un sachet donnésoit compris entre 400 g et 600 g.2 Sachant que µ = 500 g et que la probabilité que le poids des graines d'un sachet donné soitsupérieur à 550 g vaut 0.1788 ; calculer σ.3 Sachant que σ = 50 g et que la probabilité que le poids des graines d'un sachet donné soitinférieur à 500 g vaut 0.488 ; calculer µ.
