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Page 1 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES1E.I.S.T.I. - Département Mathématiques2e Année Classe PréparatoireT.D. MATHEMATIQUES CPI. IIT.D. n◦1le 11 septembre 2019Ex.1Etudier la convergence des suites numériques suivantes, de terme général :aan =n + 1 nbbn = 1 + 1nnccn =lnnlnn + 1ddn = n elnnEx.2a Montrer que la suite de terme général :Sn = 1 + 12 + · · · + 1nn'est pas une suite de Cauchy. En déduire sa nature.b Montrer que la suite de terme général :un =2n n!1.3.5 . . . 2n + 1est décroissante et convergente.Ne pas chercher à calculer la limite.Ex.3Soit unnN la suite réelle dénie par : un+1 = a sinun + bu0 donnéoù a, b et u0 sont des réels et 0 a 1.1 Montrer que :un+1 un anu1 u0
Page 2 : CPI.II T.D. MATHEMATIQUES22 En déduire une majoration de :un+p un avec p N,et la nature de la suite unnN.3 Quelle est la valeur de la limite de la suite unnN, dans le cas a = 1et b = 0 ?Ex.4Notation par la suite : Vx0 Voisinage de x0a Comparer au V0 les fonctions :fx = cos x 1et gx = sin xb Trouver un équivalent de :fx =xα1 x2 ; α R au V0 et V1.c Comparer au V les fonctions :h1x = xlnx et h2x = lnxxEx.5Trouver un equivalent des fonctions suivantes au V :afx =px3 + x5/2 x3/2bgx =x4 + 1 x4 1x2 + 1 x2 1Ex.6Calculer les limites :alimx→04 sin3x + x 4cosx 13x2 + ex 1blimx→01 ex sinxex coshxclimx→0ex sinxex2 1cosxcoshx 1 ln1 + 2016xEx.7a Calculer :limx→xxxxxxb Résoudre :xx = xx
