TD1
Page 1 : Ondes - TD 1Probleme ISoit un ressort ideal sans masse, de constante de rappel k et de longueur au repos L0,suspendu verticalement par une de ses extremites.a On accroche un masse M au bas du ressort et on la laisse descendre lentement jusqu’ace qu’elle s’arrˆete. Quelle est la longueur du ressort a ce moment?b Plutˆot que de laisser la masse descendre lentement, on la laisse simplement tomber.a En utilisant la deuxieme loi de Newton, donner l’equation du mouvement de lamasse.b Resoudre le probleme de Cauchy pour decrire le mouvement de la masse.c A quelle frequence la masse oscille-t-elle? Est-ce que la frequence depend de g?d Quelle est la longueur moyenne du ressort sur une periode?Mk, L0Probleme IIOn considere un circuit electrique consitue d’une inductance L en serie avec un condensateurde capacite C. On se propose d’etudier le courant It dans le circuit.a Par un raisonnement base sur l’analyse dimensionnelle, determiner une grandeur as-similable a une frequence angulaire en utilisant les quantites physiques du probleme.b En appliquant la loi des mailles, determiner l’equation determinant la charge Q ducondensateur. En dedure la frequence angulaire ω et la periode des oscillations ducourant It dans le circuit. Faire une analogie avec un oscillateur mecanique systememasse-ressort.c Energie:a Rappeler l’expression de l’energie EC emmagasinee dans un condensateur et del’energie EL dans l’inductance. Quelles sont les energies analogues a ces dernierespour un oscillateur mecanique?b Retrouver l’expression de la frequence angulaire en utilisant la conservation del’energie electrique.c Montrer que pour tout temps t0,⟨EC⟩t0 = ⟨EL⟩t0,1ou⟨F⟩t0 = 1τZ t0+τt0Ftdt,21
Page 2 : Probleme IIIOn considere un bloc de masse M libre de glisser sans frottement sur un plan horizontal.Il est attache de chaque cˆote par des ressorts ideaux sans masses, de constante de rappel ket 2k, respectivement, eux-mˆemes attaches a des surfaces verticales.a Calculer la frequence angulaire du systeme.b Si la vitesse du bloc au moment ou il passe au point d’equilibre est v, quelle estl’amplitude de l’oscillation du bloc?Mk2kProbleme IVSoit une particule ponctuelle soumise a un potentiel V x. Montrer que si x0 est un mini-mum de V x, alors une particule situee pres de x0 se comporte approximativement commeun oscillateur harmonique simple si elle reste dans un voisinage ou x x0 est petit. Trou-ver la frequence des oscillations autour du point x0 = 21/6σ pour une particule soumise aupotentiel de Lennard-Jones:V x = 4ϵσx12σx6.3Probleme VRetrouver les identites trigonometriques suivantes en utilisant la formule d’Euler.1. sinθ + φ = sinθ cosφ + cosθ sinφ,2. cosθ + φ = cosθ cosφ sinθ sinφ,3. cos3θ = 4 cos3θ 3 cosθ,4. sin3θ = 4 sin3θ + 3 sinθ.2
