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Page 1 : Cycle Pré-ING - Deuxième annéeSemestre 1 - 2022/2023Séries - TDSéries Numériques à termes positifsExercice 1 :1. Déterminer en justiant si les énoncés suivants sont vrais ou faux :a SiXun converge, un tend vers 0b Si un tend vers 0 alors P un converge.c Si Sn et Rn désignent la somme partielle et le reste d'ordre n de la sérieXun, on aXn0un = Sn + Rnd Si Rn est le reste d'ordre n de la série convergenteXun, Rn tend vers 02. A quelle condition sur x C la sérieXxn converge-t-elle ?3. Déterminer en justiant si les énoncés suivants sont vrais ou faux.a Si un ⩽vn, et siXvn converge, alorsXun converge.b Si un vn avec un ⩽0 pour tout entier n, et siXvn etXvn ont la même nature deconvergence.4. Déterminer la convergence de la sérieX ln1 + 1n 1n2 + n.5. Pour n N, on pose un =n!ennnn. Montrer que la suite lnunnNconverge.6. Déterminer un équivalent ànXk=11n.7. Pour n N, on pose wn = 2nnXk=04kk! . Montrer queXwn converge et calculer sa somme. Onadmettra que pour x R, ex =+Xn=0xnn! .1
Page 2 : Exercice 2 :Etudier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme :1.Xn111 + 2 + · · · + n2.Xn11nn + 1n + 23.Xn1ln n + 12nn + 24.Xn013 + 1nnExercice 3 :Etudier la convergence des séries dont le terme général un est :1.n2n2 + 12.n2 + n n3.1lnn + 14. lnnn25.12n6. n + n2n3 17. sin3 1n8. lnnnln nn9.nn + 1n10.nn + 1n211.12n 122n112. n + 1n + 2 · · · 2n2nn13. n!22n!14.an1 + a1 + a2 · · · 1 + an,a 015.n22n + n16. n1n n + 11n17. un = ln n2n18.nn2n + nExercice 4 :Soit unnN et vnnN deux suites numériques vériant, pour tout n N,un = vn vn1.Comparer la nature de la sérieXnNun et celle de la suite vnnN.Exercice 5 :1. Soit unnN et vnnN deux suites de réels positifs, vnnN ne s'annulant pas à partir d'uncertain rang.a On suppose queXvn converge.• Si un = ovn, montrer que+Xk=nuk = o +Xk=nvk!.2
Page 3 : • Si un vn, montrer que+Xk=nuk +Xk=nvk.b On suppose queXvn siverge• Si un = ovn, montrer quenXk=0uk = o nXk=0vn!.• Si un vn, montrer quenXk=0uk nXk=0vk.2. Pour tout n N, on note Hn =nXk=11ka Montrer que la suite Hn ln nnNconverge. On note γ appelée constante d'Euler salimite.b Si α 1, déterminer un équivalent de Rn =+Xk=n1kαc Pour n N, on note tn = Hn ln n γ. Déterminer un équivalent de tn+1 tn, puis, unéquivalent de tn.Exercice 6 :Soit a, b R2. Etudier la convergence de la série de terme généralun = n + an + 1 + bn + 2.Lorsque la série converge, calculer sa somme.Exercice 7 : Série de BertrandSoit α et β deux réels. On étudie la sérieXn2un oùun =1nαln nβ .Cette série s'appelle la série de Bertrand.1. Etudier le cas α 1. Indication : Montrer que un = o 1nγ , avec γ = 1+α2 .2. Etudier le cas α 1. Indication : Calculer la limite de nun.3. On étudie maintenant le cas α = 1.a Soit fβ :1, +→R la fonction dénie parfβt =1tln tβMontrer qu'il existe n0 N tel que fβ soit décroissante sur n0, +.b On suppose β = 1. Montrer, par comparaison avec une intégrale, que la série diverge.c On suppose β 1. Montrer, par comparaison avec une intégrale, que la série converge.d Étudier le cas β 1.3
Page 4 : Exercice : Autonomie1. SoitXn0un une série à termes positifs.a Montrer que la série de terme général vn =un1 + n2unest convergente.b Pour n N, soit wn =un1 + un.Montrer que :Xn0un converge ⇔Xn0wn converge.2. SoitXn0un,Xn0vn etXn0wn trois séries à termes positifs convergentes.Déterminer la nature de la sérieXn0zn où pour n N,zn = unvn + unwn + vnwn.Indication : Développer un + vn + wn2 et trouver une majoration de zn.Exercice : AutonomiePour p N, on considère la série de terme généralun = 1! + 2! + · · · + n!n + p!.1. Montrer que si p = 0, la sérieXn1un diverge grossièrement.2. Montrer que si p 3, la sérieXn1un converge.3. Etudier les cas p = 1 et p = 2.4
Page 5 : Séries Numériques à termes quelconquesExercice 9 :Etudier la convergence des séries dont le terme général un est :1. sinnαn2, α R2. 2n1 + 3n3.1nn2 + lnn4.sinn1 + cosn + en5.1nn lnn6. arctannα sin 1n3, α R7. 1 + 1nn28. 1nn2 + 1 1Exercice 10 :On considère la série de RiemannXn11nα où α 0 et α ̸= 1.1. Pour n 1, déterminer un encadrement deZ nn11xα dx.En faisant varier n et en ajoutant des inégalités adéquates, déduire un encadrement deSn =nXk=11kα .2. Pour α 1, donner un équivalent de Sn au voisinage de +.3. Pour α 1, trouver un encadrement de la somme S =+Xn=11nα et donner un équivanlent dureste Rn = S Sn au voisinage de +.Exercice 11 :1. Déterminer la nature de la sérieXn21n lnn2. Montrer qu'au voisinage de +, on a :lnlnn + 1 lnlnn 1n lnn.En déduire un équivalent denXk=21k lnk.Exercice 12 :1. Pour n N, soit un = ln1 + 1n+1n.En utilisant un développement limité à l'ordre 3 ; étudier la nature de la sérieXn1un.Remarquer qu'au voisinage de +, un 1n+1n. Quelle réexion ce résultat vous inspire-t-il ?5
Page 6 : 2. Etudier la nature des séries de termes général :a exp1n+1n1b sin1n+1n1c exp1n+1n2n + 12nd 1 + 1nn1 + nExercice 13 :Pour n N, on posean = n!ennnnetun = lnan+1 lnan.1. Montrer que la série de terme général un converge.2. En déduire que la suite annNconverge vers un réel L strictement positif.3. Calculer L en utilisant le rapport a2na2net la formule de Wallis :limn→+2nn!22n!2n =rπ2 .4. En déduire la formule de Stirling au voisinage de +:n! nen 2πn.6
