TD1
Page 1 : Ondes - TD 1Le cas echeant, et sauf mention contraire, les situations sont etudiees dans un referentielsuppose galileen.Probleme ISoit un ressort ideal sans masse, de constante de rappel k et de longueur au repos L0,suspendu verticalement par une de ses extremites.Mk, L01. On accroche une masse M au bas du ressort et on la laisse descendre lentement jusqu’ace qu’elle s’arrˆete. Quelle est la longueur du ressort a ce moment?2. Plutˆot que de laisser la masse descendre lentement, on la laisse simplement tomber.a En appliquant la deuxieme loi de NEWTON, etablir l’equation du mouvementde la masse.b Resoudre le probleme de CAUCHY pour decrire le mouvement de la masse.c Exprimer la pulsation ω, frequence ν et periode τ temporelles des oscillations.Ces grandeurs dependent-elles de g?d l’instant t, quelle est la longueur moyenne ⟨ℓt0⟩du ressort sur une periode?N.B.: pour une fonction F de periode τ:⟨F⟩t = 1τZ t+τtFt′dt′13. Approche energetiquea Retrouver l’equation du mouvement de la masse par un raisonnement energetique.b Montrer que t, on verifie sur une periode:⟨Ec⟩t = ⟨Ep⟩t = E22ou Ec, Ep et E sont respectivement les energies cinetique, potentielle et mecaniquede la masse on prendra l’origine de Ec a vitesse nulle et celle de Ep a la positiond’equilibre.Commenter.1
Page 2 : Probleme II supp.Soit un circuit electrique consitue d’une bobine d’inductance L et d’un condensateur decapacite C en serie.1. Par analyse dimensionnelle, determiner une grandeur assimilable a une frequenceangulaire en utilisant les quantites physiques du probleme.2. En appliquant la loi des mailles, etablir l’equation determinant l’evolution temporellede la charge Q du condensateur.En deduire la pulsation ω des oscillations de Qt.Faire une analogie avec un oscillateur mecanique systeme masse-ressort.3. Resoudre l’equation pour Qt si, a t = 0, le condensateur porte une charge Q0 et lecourant electrique est nul.4. Approche energetique:a Rappeler l’expression de l’energie EC emmagasinee dans un condensateur et del’energie EL dans la bobine.Faire une analogie avec un oscillateur mecanique.b Retrouver l’equation determinant l’evolution temporelle de Q par un raison-nement energetique.c Montrer que t, on verifie sur une periode:⟨EL⟩t = ⟨EC⟩t = E23ou E est l’energie electrique totale du circuit on prendra l’origine de EL acourant nul et celle de EC a la charge d’equilibre.Commenter.Probleme IIIOn considere un bloc de masse M libre de glisser sans frottement sur un plan horizontal.Il est attache de chaque cˆote par des ressorts ideaux sans masses, de constante de rappel ket 2k, respectivement, eux-mˆemes attaches a des surfaces verticales.1. Calculer la pulsation du systeme.2. Si la norme de la vitesse du bloc au moment ou il passe au point d’equilibre est v,quelle est l’amplitude de l’oscillation du bloc?Mk2k2
Page 3 : Probleme IVSoit une particule ponctuelle soumise a un ”potentiel” V x abus de language, il s’agitd’une energie potentielle.Montrer que si x0 est un minimum de V x, alors la particule se comporte approximative-ment comme un oscillateur harmonique simple dans le voisinage de x0.Determiner x0 et la pulsation des oscillations dans le voisinage de x0 pour le ”potentiel” deLENNARD-JONES:V x = 4ϵσx12σx6.4ou ϵ et σ sont des constantes positives.Probleme V supp.Retrouver les identites trigonometriques suivantes en utilisant la formule d’Euler.1. sinθ + ϕ = sinθ cosϕ + cosθ sinϕ,2. cosθ + ϕ = cosθ cosϕ sinθ sinϕ,3. cos3θ = 4 cos3θ 3 cosθ,4. sin3θ = 4 sin3θ + 3 sinθ.3
