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Page 1 : 2024/2025Semestre 1 – PréIng 2SériesTD1 - Séries NumériquesPartie I - Séries numériques à termes positifsExercice 1Déterminer la nature des séries suivantes :1.Xn1cos 1n22.Xn01nnn + 13.Xn11 + 1nn4.Xn1cos 1nn2Exercice 2Déterminer la nature des séries suivantes :1.Xn1n2 + 1n22.Xn12n3.XnN2n + 147n2 + 134.Xn1ne1n n5.Xn21lnnn6.XnNln1 + enExercice 3Soit un une suite de réels positifs et vn =un1 + un. Montrer queXnNun etXnNvn sont de même nature.Exercice 4Etudier la nature et, le cas échéant, calculer la somme des séries de terme général :1. un =1nn + 12. un =1nn + 1n + 23. un =2n 1n n2 44. un = ln1 1n + 22Exercice 5 Séries de Bertrand1. Montrer quen 2,nXk=21k ln k lnlnn + 1 lnln 22. En déduire la nature de la sérieXn21n ln n.3. Montrer quen 3,nXk=31k ln2 k 1ln 24. En déduire la nature de la sérieXn21n ln2 n.1
Page 2 : Exercices SupplémentairesExercice 6Etudier la nature de la série de terme général1. un = n + 1n3 72. un = n + 1n2 73. un = n + 1n 74. un = sin 1n25. un =1n1+1n6. un =1ln n2 + 27. un = lnnn328. un = nn2n9. un =2n + 3nn2 + lnn + 5n10. un = 1n!11. un = n10000n!12. un = 4n+1n + 1!22n 1!13. un =sin 1nn14. un =1 1nn215. un =1 + 1nn2Exercice 7Étudier la nature de la série de terme général :un =pn2 + an + 2 pn2 + bn + 1n,a, b R2, a b.2
Page 3 : Partie 2 - Séries numériques à termes quelconquesExercice 8Considérons les sériesXn11nnetXn1ln1 + 1nnMontrer que les termes généraux de ces séries sont équivalents mais que les séries n’ont pas la même nature.Exercice 9Étudier les séries:1.Xn1 s1 + 1nn1!2.Xn11nn sin 1n3.Xn01nn + 1nExercice 10Étudier la convergence de la série numérique de terme général1. un = 1n n3n!2. un = ann! ,a C3. un = nan1,a C4. un = sinn2 + 1nπ3. un = 1nn + 1 n4. un = n ln1 + 1ncos 1nExercice 11On considère la série :Xn01nn + 11. Montrer que la série est convergente.2. Montrer que n N :nXk=01kk + 1 =Z 10dt1 + t 1n+1Z 10tn+11 + t dt3. Montrer que :n N, 0 Z 10tn+11 + t dt 1n + 24. En déduire que :+Xn=01nn + 1 = ln 25. Donner une valeur approchée de ln 2 à la précision 103.Exercice 12Montrer la convergence et calculer les sommes des séries de terme général1. un =nXk=01n k!k!2. un =nXk=01nkk!2nk3
