TD2 Analyse asymptotique
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Page 1 : Departement de MathematiquesPreING1-Analyse2021 - 2022TD 5 - Analyse asymptotiquePartie I - Comparaison des suites :Exercice 1. -Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?1. Si un = ovn alors un = Ovn .2. Si un = Ovn et vn = Oun alors un vn.3. Si un vn alors un vn = ovn et un vn →0 quand n →+.4. 3nn = O2nExercice 2. -Donner des equivalents simples des suites ci-dessous :1. un = ln1 + 1n2. vn = lnn +n2 + 13. wn =p1 + n4. xn =n3 + 2n2 n3 + n25. yn = sinn2 + n + 1n + 1πExercice 3. -Determiner les limites suivantes en utilisant des equivalents.1.limn→+1 + xnn, x R2.limn→+nn23.limn→+sinn2 + 2n + 3n + 1π4.limn→+pn2 + 2n + 3 pn2 + n + 1Exercice 4. Determiner un equivalent le plus simple possible de chacune des suites suivantes quand ntend vers +.1. 1 + nn.2. lncos 1nln sin 1n.3.q1 + 1nn1.4. en+1n.Exercice 5. Montrer quenXk=0k!n!.Exercice 6. -Soit sn une suite de reels de limite 0 et telle que : sn + sn+1 1n.1. On suppose que sn est decroissante, montrer que sn 12n.2. En considerant la suite 12n + 1nnn1, prouver que ce resultat est en defaut si sn n’est pasdecroissante.1
Page 2 : Partie II - Comparaison de fonctions :Exercice 7. -A quelle condition sur f et g a-t-on ef a eg ?Exercice 8. -Soient f et g equivalentes au voisinage de a et strictement positives. Montrer que si f admet en a unelimite dans ¯R differente de 1 alors ln f a ln g.Exercice 9. -Calculer les limites suivantes :1. limx→0sinxx + 3x22. limx→0sinx4xtanx sinx3.limx→+4x + 1 ln1 x + 1x + 24. limx→0e4x2 1lncosx5. limx→0x4 + 3x2 + x2x3 + x26. limx→π3ex2 5x4ln7x2 + 2xExercice 10. -Calculer les limites de1. sin x ln1 + x2x tan xen 0.2. ln1 + sin xtan6xen 0.3. lne + x1x en 0.4. ln1 + ex1x en + .Exercice 11. -Determiner les limites suivantes :1. limx→1x3 2x2 + 2x 1x3 x2 + x 12. limx→0x sin x1 cos x3.limx→+f x ou f x =x + 1 3px3 + 14. limx→0 exp1 cos x sin xx35. limx→0ln cos x1 cos 2x6.limx→+ln x + 1ln xx ln x7.limx→π2ln 2xπcos x8.limx→+x2 e1x+1 e1x.Exercice 12. Calculer la limite et l’equivalent des fonctions suivantes :3px3 + x2 3px3 x2en + qx2 +px4 + 1 x2en + tanax sinaxtanbx sinbxen 0x π4tanx + π4 en π4cosx sinx4 x π tanxen π42
Page 3 : tanx x cosxsinx + cosx 1en 0x11+2 lnxen 02 x2 3 x + 1tanπ xen 121 + x2sin 1x lnxx + 1en + Partie III - Developpements limites :Exercice 13. -Determiner les ordres pour lesquels les fonctions suivantes admettent un DL en 0 :1. x 7→x.2. x 7→x174 .3. x 7→xn.Exercice 14. -1. Soit f : R →R la fonction definie par fx = 0 si x 0 et fx = exp 1x sinon. Calculer, pourtout n N, le developpement limite de f en 0. Quelles conclusions en tirer ?2. Soit g : R →R la fonction definie par g0 = 0 et, si x ̸= 0 : gx = x3sin 1x. Montrer que g a undeveloppement limite d’ordre 2 en 0 mais n’a pas de derivee seconde en 0.Exercice 15. -Soit fx = cos x1x pour x π2 , π2 \ 0.1. Montrer que f est prolongeable par continuite en 0.2. Determiner un DL de f en 0 a l’ordre 2.3. Etudier la derivabilite du prolongement de f.Exercice 16. -Soit f l’application de R dans R definie par fx =x31 + x6 . Calculer f n0 pour tout n N.Exercice 17. -Determiner les developpements limites suivants :1. DL30 de f1x = x4 x2 + 1.2. DL32 de f1x = x4 x2 + 1.3. DL31 de f2x = x 1 ln x.Exercice 18. -Donner les developpements limites en 0 des fonctions suivantes :1. f1x = tanx, a l’ordre 4.2. f2x = ln1 + xsin x, a l’ordre 3.3. f3x =p1 +1 + x2, a l’ordre 4.4. f4x = cosx2 sin x, a l’ordre 6.Exercice 19. -Donner le developpement limite en 0 des fonctions :1. x 7→expsinx a l’ordre 3.3
Page 4 : 2. x 7→sintanx a l’ordre 3.3. x 7→ln1 + x2 a l’ordre 3.4. x 7→expcosx a l’ordre 4.5. x 7→sin6x a l’ordre 9.Exercice 20. -Determiner les developpements limites suivants :1. DL21 de f1x = cosln x.2. DL3 π4 de f2x = lntan x.3. DL21 de f3x =x 1ln x.Exercice 21. -Determiner :1. limx→0 cos x1/x22. limx→01 + x1 x1/x3. limx→ex eln x 14. limx→01 + 3x13 1 sin x1 cos x5. limx→0 1x ln1 + xx26. limx→0 1x2 lnsin xxExercice 22. -Etudier, au voisinage de 1, la fonction definie par gx = x + 2x 2 + 2x.On demande de determiner la tangente, la position de la courbe par rapport a cette tangente et l’allurede la courbe au voisinage de 1.Exercice 23. -On sait que la fonction definie par fx = arctanx, reciproque de la fonction tangente, est de classeCsur R. Sa derivee est donnee par : f ′x =11 + x2 .1. Donner un developpement limite d’ordre 5 en 0 de f.2. Montrer que x 0,arctanx + arctan 1x = π2 .3. En deduire un developpement asymptotique d’ordre 3 de f au voisinage de +.Exercice 24. -Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en +et determiner la position s’il y alieu :1. y =px3x + 1.2. y =pxx + 1.3. y =qx3x1.4. y = x2 1 lnx+1x1.5. y = x + 1 arctan1 + 2/x.6. y = x. arctan x.e1/x.7. y = e2/x1 + x2 arctan x.8. y =x2 x exp1x+1.4
